Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvunirn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvunirn 30866
Description: The limit of all preimage maps by the "lower than or equal" relation is the universe. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
dstfrvunirn (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛)) = dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑃,𝑛   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dstfrvunirn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 1 ∈ ℝ)
2 dstfrv.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
3 dstfrv.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
42, 3rrvvf 30836 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋: dom 𝑃⟶ℝ)
54ffvelrnda 6523 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
61, 5ifcld 4275 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
7 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 (1 = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → (1 ≤ 1 ↔ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
8 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → (1 ≤ (𝑋𝑥) ↔ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
9 1le1 10867 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 1
109a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ≤ 1)
111, 5lenltd 10395 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (1 ≤ (𝑋𝑥) ↔ ¬ (𝑋𝑥) < 1))
1211biimpar 503 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ≤ (𝑋𝑥))
137, 8, 10, 12ifbothda 4267 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)))
14 flge1nn 12836 . . . . . . . . 9 ((if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) → (⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) ∈ ℕ)
156, 13, 14syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) ∈ ℕ)
1615peano2nnd 11249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℕ)
172adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑃 ∈ Prob)
183adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
1916nnred 11247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℝ)
20 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑥 dom 𝑃)
21 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 (1 = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → ((𝑋𝑥) ≤ 1 ↔ (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
22 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑥) = if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) → ((𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥) ↔ (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))))
235adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
24 1red 10267 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → 1 ∈ ℝ)
25 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) < 1)
2623, 24, 25ltled 10397 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ≤ 1)
275leidd 10806 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥))
2827adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 dom 𝑃) ∧ ¬ (𝑋𝑥) < 1) → (𝑋𝑥) ≤ (𝑋𝑥))
2921, 22, 26, 28ifbothda 4267 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)))
30 fllep1 12816 . . . . . . . . . 10 (if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ∈ ℝ → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
316, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥)) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
325, 6, 19, 29, 31letrd 10406 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → (𝑋𝑥) ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))
3317, 18, 19, 20, 32dstfrvel 30865 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1)))
34 oveq2 6822 . . . . . . . . 9 (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) → (𝑋RV/𝑐𝑛) = (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1)))
3534eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝑛 = ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))))
3635rspcev 3449 . . . . . . 7 ((((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐 ≤ ((⌊‘if((𝑋𝑥) < 1, 1, (𝑋𝑥))) + 1))) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
3716, 33, 36syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 dom 𝑃) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
3837ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
392adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
403adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
41 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
4241nnred 11247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
4339, 40, 42orvclteel 30864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃)
44 elunii 4593 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) ∧ (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃) → 𝑥 dom 𝑃)
4544expcom 450 . . . . . . 7 ((𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃 → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4643, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4746rexlimdva 3169 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛) → 𝑥 dom 𝑃))
4838, 47impbid 202 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
49 eliun 4676 . . . 4 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ (𝑋RV/𝑐𝑛))
5048, 49syl6bbr 278 . . 3 (𝜑 → (𝑥 dom 𝑃𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛)))
5150eqrdv 2758 . 2 (𝜑 dom 𝑃 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛))
52 ovex 6842 . . 3 (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ V
5352dfiun3 5535 . 2 𝑛 ∈ ℕ (𝑋RV/𝑐𝑛) = ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛))
5451, 53syl6req 2811 1 (𝜑 ran (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑛)) = dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  ifcif 4230   cuni 4588   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286  cle 10287  cn 11232  cfl 12805  Probcprb 30799  rRndVarcrrv 30832  RV/𝑐corvc 30847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-fl 12807  df-topgen 16326  df-top 20921  df-bases 20972  df-cld 21045  df-esum 30420  df-siga 30501  df-sigagen 30532  df-brsiga 30575  df-meas 30589  df-mbfm 30643  df-prob 30800  df-rrv 30833  df-orvc 30848
This theorem is referenced by:  dstfrvclim1  30869
  Copyright terms: Public domain W3C validator