Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dstfrvclim1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dstfrvclim1 30869
 Description: The limit of the cumulative distribution function is one. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
dstfrv.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
dstfrv.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
dstfrv.3 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))))
Assertion
Ref Expression
dstfrvclim1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem dstfrvclim1
Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . 5 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 dstfrv.1 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
3 domprobmeas 30802 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Prob → 𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃))
52adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
6 dstfrv.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
76adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
8 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
98nnred 11247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℝ)
105, 7, 9orvclteel 30864 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑖) ∈ dom 𝑃)
11 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))
1210, 11fmptd 6549 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃)
132adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ Prob)
146adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
15 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
1615nnred 11247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
1715peano2nnd 11249 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
1817nnred 11247 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
1916lep1d 11167 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≤ (𝑛 + 1))
2013, 14, 16, 18, 19orvclteinc 30867 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ⊆ (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
21 eqidd 2761 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))
22 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → 𝑖 = 𝑛)
2322oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = 𝑛) → (𝑋RV/𝑐𝑖) = (𝑋RV/𝑐𝑛))
2413, 14, 16orvclteel 30864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐𝑛) ∈ dom 𝑃)
2521, 23, 15, 24fvmptd 6451 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘𝑛) = (𝑋RV/𝑐𝑛))
26 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → 𝑖 = (𝑛 + 1))
2726oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 = (𝑛 + 1)) → (𝑋RV/𝑐𝑖) = (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
2813, 14, 18orvclteel 30864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)) ∈ dom 𝑃)
2921, 27, 17, 28fvmptd 6451 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘(𝑛 + 1)) = (𝑋RV/𝑐 ≤ (𝑛 + 1)))
3020, 25, 293sstr4d 3789 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘𝑛) ⊆ ((𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))‘(𝑛 + 1)))
311, 4, 12, 30meascnbl 30612 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))(𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))))
32 measfn 30597 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (measures‘dom 𝑃) → 𝑃 Fn dom 𝑃)
33 dffn5 6404 . . . . . . . . 9 (𝑃 Fn dom 𝑃𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃𝑎)))
3433biimpi 206 . . . . . . . 8 (𝑃 Fn dom 𝑃𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃𝑎)))
354, 32, 343syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 = (𝑎 ∈ dom 𝑃 ↦ (𝑃𝑎)))
36 prob01 30805 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ Prob ∧ 𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝑎) ∈ (0[,]1))
372, 36sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ dom 𝑃) → (𝑃𝑎) ∈ (0[,]1))
3835, 37fmpt3d 6550 . . . . . 6 (𝜑𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1))
39 fco 6219 . . . . . 6 ((𝑃:dom 𝑃⟶(0[,]1) ∧ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)):ℕ⟶dom 𝑃) → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
4038, 12, 39syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))):ℕ⟶(0[,]1))
412, 6dstfrvunirn 30866 . . . . . . 7 (𝜑 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = dom 𝑃)
422unveldomd 30807 . . . . . . 7 (𝜑 dom 𝑃 ∈ dom 𝑃)
4341, 42eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) ∈ dom 𝑃)
44 prob01 30805 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ Prob ∧ ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) ∈ dom 𝑃) → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ∈ (0[,]1))
452, 43, 44syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ∈ (0[,]1))
46 0xr 10298 . . . . . 6 0 ∈ ℝ*
47 pnfxr 10304 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
48 0le0 11322 . . . . . 6 0 ≤ 0
49 1re 10251 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
50 ltpnf 12167 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
52 iccssico 12458 . . . . . 6 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 < +∞)) → (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞))
5346, 47, 48, 51, 52mp4an 711 . . . . 5 (0[,]1) ⊆ (0[,)+∞)
541, 40, 45, 53lmlimxrge0 30324 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))(⇝𝑡‘(TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))))(𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ↔ (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ⇝ (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))))
5531, 54mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) ⇝ (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))))
56 eqidd 2761 . . . . 5 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖)))
57 fveq2 6353 . . . . 5 (𝑎 = (𝑋RV/𝑐𝑖) → (𝑃𝑎) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)))
5810, 56, 35, 57fmptco 6560 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖))))
59 dstfrv.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))))
6059adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))))
61 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → 𝑥 = 𝑖)
6261oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑋RV/𝑐𝑥) = (𝑋RV/𝑐𝑖))
6362fveq2d 6357 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = 𝑖) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥)) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)))
645, 10probvalrnd 30816 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)) ∈ ℝ)
6560, 63, 9, 64fvmptd 6451 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹𝑖) = (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖)))
6665mpteq2dva 4896 . . . 4 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑖))))
6758, 66eqtr4d 2797 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∘ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)))
6841fveq2d 6357 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = (𝑃 dom 𝑃))
69 probtot 30804 . . . . 5 (𝑃 ∈ Prob → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
702, 69syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 dom 𝑃) = 1)
7168, 70eqtrd 2794 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ran (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝑋RV/𝑐𝑖))) = 1)
7255, 67, 713brtr3d 4835 . 2 (𝜑 → (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) ⇝ 1)
73 1z 11619 . . 3 1 ∈ ℤ
74 reex 10239 . . . . 5 ℝ ∈ V
7574mptex 6651 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑃‘(𝑋RV/𝑐𝑥))) ∈ V
7659, 75syl6eqel 2847 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
77 nnuz 11936 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
78 eqid 2760 . . . 4 (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖))
7977, 78climmpt 14521 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) ⇝ 1))
8073, 76, 79sylancr 698 . 2 (𝜑 → (𝐹 ⇝ 1 ↔ (𝑖 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑖)) ⇝ 1))
8172, 80mpbird 247 1 (𝜑𝐹 ⇝ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151  +∞cpnf 10283  ℝ*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287  ℕcn 11232  ℤcz 11589  [,)cico 12390  [,]cicc 12391   ⇝ cli 14434   ↾s cress 16080  TopOpenctopn 16304  ℝ*𝑠cxrs 16382  ⇝𝑡clm 21252  measurescmeas 30588  Probcprb 30799  rRndVarcrrv 30832  ∘RV/𝑐corvc 30847 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-ordt 16383  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-ps 17421  df-tsr 17422  df-plusf 17462  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-mhm 17556  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-cring 18770  df-subrg 19000  df-abv 19039  df-lmod 19087  df-scaf 19088  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-lm 21255  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-tmd 22097  df-tgp 22098  df-tsms 22151  df-trg 22184  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-nm 22608  df-ngp 22609  df-nrg 22611  df-nlm 22612  df-ii 22901  df-cncf 22902  df-limc 23849  df-dv 23850  df-log 24523  df-esum 30420  df-siga 30501  df-sigagen 30532  df-brsiga 30575  df-meas 30589  df-mbfm 30643  df-prob 30800  df-rrv 30833  df-orvc 30848 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator