MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmsubg 20310
Description: The finite hull of a product of groups is additionally closed under negation and thus is a subgroup of the product. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmsubg.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmsubg.h 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
dsmmsubg.i (𝜑𝐼𝑊)
dsmmsubg.s (𝜑𝑆𝑉)
dsmmsubg.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
Assertion
Ref Expression
dsmmsubg (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))

Proof of Theorem dsmmsubg
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2762 . 2 (𝜑 → (𝑃s 𝐻) = (𝑃s 𝐻))
2 eqidd 2762 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) = (0g𝑃))
3 eqidd 2762 . 2 (𝜑 → (+g𝑃) = (+g𝑃))
4 dsmmsubg.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
5 dsmmsubg.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑊)
6 fex 6655 . . . . . 6 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ 𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
74, 5, 6syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
8 eqid 2761 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin}
98dsmmbase 20302 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
11 ssrab2 3829 . . . 4 {𝑎 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑏 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin} ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅))
1210, 11syl6eqssr 3798 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝑆m 𝑅)) ⊆ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13 dsmmsubg.h . . 3 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
14 dsmmsubg.p . . . 4 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
1514fveq2i 6357 . . 3 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
1612, 13, 153sstr4g 3788 . 2 (𝜑𝐻 ⊆ (Base‘𝑃))
17 dsmmsubg.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
18 grpmnd 17651 . . . . 5 (𝑎 ∈ Grp → 𝑎 ∈ Mnd)
1918ssriv 3749 . . . 4 Grp ⊆ Mnd
20 fss 6218 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶Grp ∧ Grp ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
214, 19, 20sylancl 697 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
22 eqid 2761 . . 3 (0g𝑃) = (0g𝑃)
2314, 13, 5, 17, 21, 22dsmm0cl 20307 . 2 (𝜑 → (0g𝑃) ∈ 𝐻)
2453ad2ant1 1128 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝐼𝑊)
25173ad2ant1 1128 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑆𝑉)
26213ad2ant1 1128 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
27 simp2 1132 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑎𝐻)
28 simp3 1133 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
29 eqid 2761 . . 3 (+g𝑃) = (+g𝑃)
3014, 13, 24, 25, 26, 27, 28, 29dsmmacl 20308 . 2 ((𝜑𝑎𝐻𝑏𝐻) → (𝑎(+g𝑃)𝑏) ∈ 𝐻)
3114, 5, 17, 4prdsgrpd 17747 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
3231adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑃 ∈ Grp)
3316sselda 3745 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
34 eqid 2761 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
35 eqid 2761 . . . . 5 (invg𝑃) = (invg𝑃)
3634, 35grpinvcl 17689 . . . 4 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑃)) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
3732, 33, 36syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃))
38 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑎𝐻)
39 eqid 2761 . . . . . . 7 (𝑆m 𝑅) = (𝑆m 𝑅)
405adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝐼𝑊)
41 ffn 6207 . . . . . . . . 9 (𝑅:𝐼⟶Grp → 𝑅 Fn 𝐼)
424, 41syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4342adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐻) → 𝑅 Fn 𝐼)
4414, 39, 34, 13, 40, 43dsmmelbas 20306 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎𝐻 ↔ (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
4538, 44mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐻) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin))
4645simprd 482 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
475ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝐼𝑊)
4817ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑆𝑉)
494ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑅:𝐼⟶Grp)
5033adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑃))
51 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → 𝑏𝐼)
5214, 47, 48, 49, 34, 35, 50, 51prdsinvgd2 20309 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
5352adantrr 755 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)))
54 fveq2 6354 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
5554ad2antll 767 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(𝑎𝑏)) = ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))))
564ffvelrnda 6524 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
5756adantlr 753 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → (𝑅𝑏) ∈ Grp)
58 eqid 2761 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(𝑅𝑏)) = (0g‘(𝑅𝑏))
59 eqid 2761 . . . . . . . . . . 11 (invg‘(𝑅𝑏)) = (invg‘(𝑅𝑏))
6058, 59grpinvid 17698 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑏) ∈ Grp → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6157, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6261adantrr 755 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → ((invg‘(𝑅𝑏))‘(0g‘(𝑅𝑏))) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6353, 55, 623eqtrd 2799 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ (𝑏𝐼 ∧ (𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)))
6463expr 644 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((𝑎𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏)) → (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) = (0g‘(𝑅𝑏))))
6564necon3d 2954 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝐻) ∧ 𝑏𝐼) → ((((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏)) → (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))))
6665ss2rabdv 3825 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ⊆ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))})
67 ssfi 8348 . . . 4 (({𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin ∧ {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ⊆ {𝑏𝐼 ∣ (𝑎𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))}) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
6846, 66, 67syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)
6914, 39, 34, 13, 40, 43dsmmelbas 20306 . . 3 ((𝜑𝑎𝐻) → (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻 ↔ (((invg𝑃)‘𝑎) ∈ (Base‘𝑃) ∧ {𝑏𝐼 ∣ (((invg𝑃)‘𝑎)‘𝑏) ≠ (0g‘(𝑅𝑏))} ∈ Fin)))
7037, 68, 69mpbir2and 995 . 2 ((𝜑𝑎𝐻) → ((invg𝑃)‘𝑎) ∈ 𝐻)
711, 2, 3, 16, 23, 30, 70, 31issubgrpd2 17832 1 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  {crab 3055  Vcvv 3341  wss 3716  dom cdm 5267   Fn wfn 6045  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  Fincfn 8124  Basecbs 16080  s cress 16081  +gcplusg 16164  0gc0g 16323  Xscprds 16329  Mndcmnd 17516  Grpcgrp 17644  invgcminusg 17645  SubGrpcsubg 17810  m cdsmm 20298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-prds 16331  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-subg 17813  df-dsmm 20299
This theorem is referenced by:  dsmmlss  20311
  Copyright terms: Public domain W3C validator