MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmfi 20130
Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dsmmfi ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝑆m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Proof of Theorem dsmmfi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . 3 (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘(𝑆m 𝑅))
21dsmmval2 20128 . 2 (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅)))
3 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
4 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
5 noel 3952 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝑓 ∈ ∅
6 reldmprds 16156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Rel dom Xs
76ovprc1 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
87fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
9 base0 15959 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∅ = (Base‘∅)
108, 9syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
1110eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
125, 11mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
1312con4i 113 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
1413adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
15 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
16 simpll 805 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
17 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
183, 4, 14, 15, 16, 17prdsbasfn 16178 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
19 fndm 6028 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐼 → dom 𝑓 = 𝐼)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 = 𝐼)
2120, 15eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 ∈ Fin)
22 difss 3770 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ 𝑓
23 dmss 5355 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑓)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑓
25 ssfi 8221 . . . . . . . 8 ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑓) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
2621, 24, 25sylancl 695 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
2726ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
28 rabid2 3148 . . . . . 6 ((Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
2927, 28sylibr 224 . . . . 5 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin})
30 eqid 2651 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
313, 30dsmmbas2 20129 . . . . 5 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
3229, 31eqtr2d 2686 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
3332oveq2d 6706 . . 3 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))))
34 ovex 6718 . . . 4 (𝑆Xs𝑅) ∈ V
354ressid 15982 . . . 4 ((𝑆Xs𝑅) ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
3634, 35ax-mp 5 . . 3 ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅)
3733, 36syl6eq 2701 . 2 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
382, 37syl5eq 2697 1 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝑆m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  dom cdm 5143  ccom 5147   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  Basecbs 15904  s cress 15905  0gc0g 16147  Xscprds 16153  m cdsmm 20123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-dsmm 20124
This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  20144
  Copyright terms: Public domain W3C validator