Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmelbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmelbas 20300
 Description: Membership in the finitely supported hull of a structure product in terms of the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmelbas.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmelbas.c 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
dsmmelbas.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
dsmmelbas.h 𝐻 = (Base‘𝐶)
dsmmelbas.i (𝜑𝐼𝑉)
dsmmelbas.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dsmmelbas (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎   𝐼,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝑃(𝑎)   𝐻(𝑎)   𝑉(𝑎)

Proof of Theorem dsmmelbas
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmelbas.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
2 dsmmelbas.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑉)
3 fnex 6625 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
41, 2, 3syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
5 eqid 2771 . . . . . 6 {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}
65dsmmbase 20296 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
8 dsmmelbas.h . . . . 5 𝐻 = (Base‘𝐶)
9 dsmmelbas.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑆m 𝑅)
109fveq2i 6335 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘(𝑆m 𝑅))
118, 10eqtri 2793 . . . 4 𝐻 = (Base‘(𝑆m 𝑅))
127, 11syl6reqr 2824 . . 3 (𝜑𝐻 = {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin})
1312eleq2d 2836 . 2 (𝜑 → (𝑋𝐻𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin}))
14 fveq1 6331 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑋 → (𝑏𝑎) = (𝑋𝑎))
1514neeq1d 3002 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑋 → ((𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎)) ↔ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))))
1615rabbidv 3339 . . . . 5 (𝑏 = 𝑋 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
1716eleq1d 2835 . . . 4 (𝑏 = 𝑋 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
1817elrab 3515 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
19 dsmmelbas.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
20 dsmmelbas.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
2120fveq2i 6335 . . . . . . 7 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
2219, 21eqtr2i 2794 . . . . . 6 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = 𝐵
2322eleq2i 2842 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵)
2423a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑋𝐵))
25 fndm 6130 . . . . . 6 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
26 rabeq 3342 . . . . . 6 (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
271, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑 → {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} = {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))})
2827eleq1d 2835 . . . 4 (𝜑 → ({𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin ↔ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin))
2924, 28anbi12d 616 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∧ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin) ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3018, 29syl5bb 272 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ {𝑏 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑎 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑏𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin} ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
3113, 30bitrd 268 1 (𝜑 → (𝑋𝐻 ↔ (𝑋𝐵 ∧ {𝑎𝐼 ∣ (𝑋𝑎) ≠ (0g‘(𝑅𝑎))} ∈ Fin)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  {crab 3065  Vcvv 3351  dom cdm 5249   Fn wfn 6026  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Xscprds 16314   ⊕m cdsmm 20292 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-prds 16316  df-dsmm 20293 This theorem is referenced by:  dsmm0cl  20301  dsmmacl  20302  dsmmsubg  20304  dsmmlss  20305
 Copyright terms: Public domain W3C validator