MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmbas2 20297
Description: Base set of the direct sum module using the fndmin 6467 abbreviation. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dsmmbas2.p 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
dsmmbas2.b 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
dsmmbas2 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑓   𝑅,𝑓   𝑃,𝑓   𝑓,𝐼   𝑓,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem dsmmbas2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dsmmbas2.b . 2 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
2 dsmmbas2.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆Xs𝑅)
32fveq2i 6335 . . . . 5 (Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
4 rabeq 3341 . . . . 5 ((Base‘𝑃) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin})
53, 4ax-mp 5 . . . 4 {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
6 simpll 742 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
7 fvco2 6415 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
86, 7sylan 561 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
98neeq2d 3002 . . . . . . . 8 ((((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥) ↔ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))))
109rabbidva 3337 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥)} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
11 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
12 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
13 noel 4065 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑓 ∈ ∅
14 reldmprds 16316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Rel dom Xs
1514ovprc1 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
1615fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
17 base0 16118 . . . . . . . . . . . . . 14 ∅ = (Base‘∅)
1816, 17syl6eqr 2822 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
1918eleq2d 2835 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
2013, 19mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
2120con4i 114 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
2221adantl 467 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
23 simplr 744 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼𝑉)
24 simpr 471 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
2511, 12, 22, 23, 6, 24prdsbasfn 16338 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
26 fn0g 17469 . . . . . . . . . . . 12 0g Fn V
27 dffn2 6187 . . . . . . . . . . . 12 (0g Fn V ↔ 0g:V⟶V)
2826, 27mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 0g:V⟶V
29 dffn2 6187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 Fn 𝐼𝑅:𝐼⟶V)
3029biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 Fn 𝐼𝑅:𝐼⟶V)
31 fco 6198 . . . . . . . . . . 11 ((0g:V⟶V ∧ 𝑅:𝐼⟶V) → (0g𝑅):𝐼⟶V)
3228, 30, 31sylancr 567 . . . . . . . . . 10 (𝑅 Fn 𝐼 → (0g𝑅):𝐼⟶V)
33 ffn 6185 . . . . . . . . . 10 ((0g𝑅):𝐼⟶V → (0g𝑅) Fn 𝐼)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn 𝐼 → (0g𝑅) Fn 𝐼)
3534ad2antrr 697 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → (0g𝑅) Fn 𝐼)
36 fndmdif 6464 . . . . . . . 8 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ (0g𝑅) Fn 𝐼) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥)})
3725, 35, 36syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ ((0g𝑅)‘𝑥)})
38 fndm 6130 . . . . . . . . 9 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
39 rabeq 3341 . . . . . . . . 9 (dom 𝑅 = 𝐼 → {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 Fn 𝐼 → {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
4140ad2antrr 697 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
4210, 37, 413eqtr4d 2814 . . . . . 6 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
4342eleq1d 2834 . . . . 5 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → (dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin))
4443rabbidva 3337 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
455, 44syl5eq 2816 . . 3 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
46 fnex 6624 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
47 eqid 2770 . . . . 5 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
4847dsmmbase 20295 . . . 4 (𝑅 ∈ V → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
4946, 48syl 17 . . 3 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
5045, 49eqtrd 2804 . 2 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → {𝑓 ∈ (Base‘𝑃) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
511, 50syl5eq 2816 1 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑉) → 𝐵 = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  {crab 3064  Vcvv 3349  cdif 3718  c0 4061  dom cdm 5249  ccom 5253   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  Basecbs 16063  0gc0g 16307  Xscprds 16313  m cdsmm 20291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-hom 16173  df-cco 16174  df-0g 16309  df-prds 16315  df-dsmm 20292
This theorem is referenced by:  dsmmfi  20298  frlmbas  20315
  Copyright terms: Public domain W3C validator