Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dscopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dscopn 22425
 Description: The discrete metric generates the discrete topology. In particular, the discrete topology is metrizable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dscmet.1 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
Assertion
Ref Expression
dscopn (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem dscopn
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dscmet.1 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ if(𝑥 = 𝑦, 0, 1))
21dscmet 22424 . . . . . 6 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 metxmet 22186 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑋𝑉𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 eqid 2651 . . . . . 6 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
65elmopn 22294 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
74, 6syl 17 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
8 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑋𝑉)
9 ssel2 3631 . . . . . . . . . 10 ((𝑢𝑋𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
109adantll 750 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → 𝑣𝑋)
118, 10jca 553 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → (𝑋𝑉𝑣𝑋))
12 velsn 4226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 = 𝑣)
13 eleq1a 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣𝑤𝑋))
14 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → ((𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1) → 𝑤𝑋))
16 eqeq12 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → (𝑥 = 𝑦𝑣 = 𝑤))
1716ifbid 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑣𝑦 = 𝑤) → if(𝑥 = 𝑦, 0, 1) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
18 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
19 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
2018, 19keepel 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ ℝ
2120elexi 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) ∈ V
2217, 1, 21ovmpt2a 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑣𝐷𝑤) = if(𝑣 = 𝑤, 0, 1))
2322breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1))
2419ltnri 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ¬ 1 < 1
25 iffalse 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 1)
2625breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑣 = 𝑤 → (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 1 < 1))
2724, 26mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑣 = 𝑤 → ¬ if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
2827con4i 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 → 𝑣 = 𝑤)
29 iftrue 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) = 0)
30 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 < 1
3129, 30syl6eqbr 4724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1)
3228, 31impbii 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑣 = 𝑤)
33 equcom 1991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤𝑤 = 𝑣)
3432, 33bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑣 = 𝑤, 0, 1) < 1 ↔ 𝑤 = 𝑣)
3523, 34syl6rbb 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑣𝐷𝑤) < 1))
36 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → 𝑤𝑋)
3736biantrurd 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → ((𝑣𝐷𝑤) < 1 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3835, 37bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝑋𝑤𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
3938ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝑋 → (𝑤𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1))))
4013, 15, 39pm5.21ndd 368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝑋 → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣 ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
42 1rp 11874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
43 rpxr 11878 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ*
45 elbl 22240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4644, 45mp3an3 1453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
474, 46sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1) ↔ (𝑤𝑋 ∧ (𝑣𝐷𝑤) < 1)))
4841, 47bitr4d 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 = 𝑣𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
4912, 48syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑤 ∈ {𝑣} ↔ 𝑤 ∈ (𝑣(ball‘𝐷)1)))
5049eqrdv 2649 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} = (𝑣(ball‘𝐷)1))
51 blelrn 22269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5244, 51mp3an3 1453 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
534, 52sylan 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → (𝑣(ball‘𝐷)1) ∈ ran (ball‘𝐷))
5450, 53eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑣𝑋) → {𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷))
55 snssi 4371 . . . . . . . . . 10 (𝑣𝑢 → {𝑣} ⊆ 𝑢)
56 vsnid 4242 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ {𝑣}
5755, 56jctil 559 . . . . . . . . 9 (𝑣𝑢 → (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢))
58 eleq2 2719 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑣𝑤𝑣 ∈ {𝑣}))
59 sseq1 3659 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = {𝑣} → (𝑤𝑢 ↔ {𝑣} ⊆ 𝑢))
6058, 59anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑣} → ((𝑣𝑤𝑤𝑢) ↔ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)))
6160rspcev 3340 . . . . . . . . 9 (({𝑣} ∈ ran (ball‘𝐷) ∧ (𝑣 ∈ {𝑣} ∧ {𝑣} ⊆ 𝑢)) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6254, 57, 61syl2an 493 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑣𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6311, 62sylancom 702 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑢𝑋) ∧ 𝑣𝑢) → ∃𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6463ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑢𝑋) → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))
6564ex 449 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 → ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢)))
6665pm4.71d 667 . . . 4 (𝑋𝑉 → (𝑢𝑋 ↔ (𝑢𝑋 ∧ ∀𝑣𝑢𝑤 ∈ ran (ball‘𝐷)(𝑣𝑤𝑤𝑢))))
677, 66bitr4d 271 . . 3 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢𝑋))
68 selpw 4198 . . 3 (𝑢 ∈ 𝒫 𝑋𝑢𝑋)
6967, 68syl6bbr 278 . 2 (𝑋𝑉 → (𝑢 ∈ (MetOpen‘𝐷) ↔ 𝑢 ∈ 𝒫 𝑋))
7069eqrdv 2649 1 (𝑋𝑉 → (MetOpen‘𝐷) = 𝒫 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   class class class wbr 4685  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ℝ*cxr 10111   < clt 10112  ℝ+crp 11870  ∞Metcxmt 19779  Metcme 19780  ballcbl 19781  MetOpencmopn 19784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-bases 20798 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator