Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drsdirfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drsdirfi 16919
 Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the nonemptiness constraint in df-drs 16910 first comes into play; without it we would need an additional constraint that 𝑋 not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
drsdirfi ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Proof of Theorem drsdirfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3618 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
21anbi2d 739 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵)))
3 raleq 3133 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
43rexbidv 3048 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
52, 4imbi12d 334 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)))
6 sseq1 3618 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝐵𝑏𝐵))
76anbi2d 739 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵)))
8 raleq 3133 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
98rexbidv 3048 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
107, 9imbi12d 334 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦)))
11 sseq1 3618 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎𝐵 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵))
1211anbi2d 739 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵)))
13 raleq 3133 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1413rexbidv 3048 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1512, 14imbi12d 334 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
16 sseq1 3618 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎𝐵𝑋𝐵))
1716anbi2d 739 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵)))
18 raleq 3133 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
1918rexbidv 3048 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
2017, 19imbi12d 334 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)))
21 drsbn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2221drsbn0 16918 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐵 ≠ ∅)
23 ral0 4067 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦
2423jctr 564 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2524eximi 1760 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
26 n0 3923 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
27 df-rex 2915 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2825, 26, 273imtr4i 281 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
2922, 28syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ Dirset → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
3029adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
31 ssun1 3768 . . . . . . . . 9 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
32 sstr 3603 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → 𝑏𝐵)
3331, 32mpan 705 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑏𝐵)
3433anim2i 592 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵))
35 breq2 4648 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑧 𝑦𝑧 𝑎))
3635ralbidv 2983 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎))
3736cbvrexv 3167 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
38 simplrr 800 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
39 drsprs 16917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Preset )
4039ad5antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝐾 ∈ Preset )
4133ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) → 𝑏𝐵)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑏𝐵)
4342sselda 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → 𝑧𝐵)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧𝐵)
45 simp-4r 806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎𝐵)
46 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑦𝐵)
4746ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑦𝐵)
48 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑎)
49 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑎 𝑦)
5049ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎 𝑦)
51 drsdirfi.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (le‘𝐾)
5221, 51prstr 16914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Preset ∧ (𝑧𝐵𝑎𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧 𝑎𝑎 𝑦)) → 𝑧 𝑦)
5340, 44, 45, 47, 48, 50, 52syl132anc 1342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑦)
5453ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → (𝑧 𝑎𝑧 𝑦))
5554ralimdva 2959 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5655adantlrr 756 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5738, 56mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦)
58 simprrr 804 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑐 𝑦)
59 vex 3198 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
60 breq1 4647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑐 → (𝑧 𝑦𝑐 𝑦))
6159, 60ralsn 4213 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦𝑐 𝑦)
6258, 61sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦)
63 ralun 3787 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
6457, 62, 63syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
65 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝐾 ∈ Dirset)
66 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑎𝐵)
67 ssun2 3769 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68 sstr 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → {𝑐} ⊆ 𝐵)
6967, 68mpan 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → {𝑐} ⊆ 𝐵)
7059snss 4307 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝐵 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐵)
7169, 70sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑐𝐵)
7271ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑐𝐵)
7321, 51drsdir 16916 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵𝑐𝐵) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7465, 66, 72, 73syl3anc 1324 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7564, 74reximddv 3015 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
7675rexlimdvaa 3028 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7737, 76syl5bi 232 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7834, 77embantd 59 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7978com12 32 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
8079a1i 11 . . . 4 (𝑏 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
815, 10, 15, 20, 30, 80findcard2 8185 . . 3 (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
8281com12 32 . 2 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 ∈ Fin → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
83823impia 1259 1 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1481  ∃wex 1702   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∀wral 2909  ∃wrex 2910   ∪ cun 3565   ⊆ wss 3567  ∅c0 3907  {csn 4168   class class class wbr 4644  ‘cfv 5876  Fincfn 7940  Basecbs 15838  lecple 15929   Preset cpreset 16907  Dirsetcdrs 16908 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-1o 7545  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944  df-preset 16909  df-drs 16910 This theorem is referenced by:  isdrs2  16920  ipodrsfi  17144
 Copyright terms: Public domain W3C validator