Theorem drnguc1p 24150

Description: Over a division ring, all nonzero polynomials are unitic. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnguc1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
drnguc1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
drnguc1p.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
drnguc1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnguc1p	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem drnguc1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		simp3 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ≠ 0 )
3		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
4		drnguc1p.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		drnguc1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	coe1f 19796	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8	7	3ad2ant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
9		drngring 18964	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
10		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
11		drnguc1p.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	10, 5, 11, 4	deg1nn0cl 24068	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	9, 12	syl3an1 1166	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	8, 13	ffvelrnd 6505	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	10, 5, 11, 4, 15, 3	deg1ldg 24072	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
17	9, 16	syl3an1 1166	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
18		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19	6, 18, 15	drngunit 18962	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))))
20	19	3ad2ant1 1127	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))))
21	14, 17, 20	mpbir2and 692	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅))
22		drnguc1p.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
23	5, 4, 11, 10, 22, 18	isuc1p 24120	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅)))
24	1, 2, 21, 23	syl3anbrc 1428	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  ℕ₀cn0 11499  Basecbs 16064  0_gc0g 16308  Ringcrg 18755  Unitcui 18847  DivRingcdr 18957  Poly₁cpl1 19762  coe₁cco1 19763   deg₁ cdg1 24034  Unic_1pcuc1p 24106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-addf 10221  ax-mulf 10222

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-cring 18758  df-drng 18959  df-psr 19571  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-ply1 19767  df-coe1 19768  df-cnfld 19962  df-mdeg 24035  df-deg1 24036  df-uc1p 24111

This theorem is referenced by:  ig1peu  24151