MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngid2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngid2 18811
Description: Properties showing that an element 𝐼 is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
drngid2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
drngid2.t · = (.r𝑅)
drngid2.o 0 = (0g𝑅)
drngid2.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngid2 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))

Proof of Theorem drngid2
StepHypRef Expression
1 df-3an 1056 . . . 4 ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼𝐵𝐼0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
2 eldifsn 4350 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝐼𝐵𝐼0 ))
32anbi1i 731 . . . 4 ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ ((𝐼𝐵𝐼0 ) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
41, 3bitr4i 267 . . 3 ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼))
5 drngid2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 drngid2.o . . . . 5 0 = (0g𝑅)
7 eqid 2651 . . . . 5 ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))
85, 6, 7drngmgp 18807 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → ((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp)
9 difss 3770 . . . . . 6 (𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵
10 eqid 2651 . . . . . . . 8 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1110, 5mgpbas 18541 . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
127, 11ressbas2 15978 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵 → (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
139, 12ax-mp 5 . . . . 5 (𝐵 ∖ { 0 }) = (Base‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
14 fvex 6239 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
155, 14eqeltri 2726 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
16 difexg 4841 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V)
17 drngid2.t . . . . . . . 8 · = (.r𝑅)
1810, 17mgpplusg 18539 . . . . . . 7 · = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
197, 18ressplusg 16040 . . . . . 6 ((𝐵 ∖ { 0 }) ∈ V → · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
2015, 16, 19mp2b 10 . . . . 5 · = (+g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
21 eqid 2651 . . . . 5 (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })))
2213, 20, 21isgrpid2 17505 . . . 4 (((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 })) ∈ Grp → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
238, 22syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
244, 23syl5bb 272 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
25 drngid2.u . . . 4 1 = (1r𝑅)
265, 6, 25, 7drngid 18809 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 1 = (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))))
2726eqeq1d 2653 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 = 𝐼 ↔ (0g‘((mulGrp‘𝑅) ↾s (𝐵 ∖ { 0 }))) = 𝐼))
2824, 27bitr4d 271 1 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼𝐵𝐼0 ∧ (𝐼 · 𝐼) = 𝐼) ↔ 1 = 𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  {csn 4210  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  mulGrpcmgp 18535  1rcur 18547  DivRingcdr 18795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797
This theorem is referenced by:  erng1r  36600  dvalveclem  36631
  Copyright terms: Public domain W3C validator