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Theorem dquart 24800
Description: Solve a depressed quartic equation. To eliminate 𝑆, which is the square root of a solution 𝑀 to the resolvent cubic equation, apply cubic 24796 or one of its variants. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dquart.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
dquart.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
dquart.x (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
dquart.s (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
dquart.m (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
dquart.m0 (𝜑𝑀 ≠ 0)
dquart.i (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
dquart.i2 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
dquart.d (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
dquart.3 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
dquart.j (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
dquart.j2 (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
Assertion
Ref Expression
dquart (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ((𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼)) ∨ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽)))))

Proof of Theorem dquart
StepHypRef Expression
1 dquart.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
21sqcld 13212 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
3 dquart.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 = ((2 · 𝑆)↑2))
4 2cn 11292 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
5 dquart.s . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
6 mulcl 10221 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑆) ∈ ℂ)
87sqcld 13212 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ∈ ℂ)
93, 8eqeltrd 2849 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
10 dquart.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
119, 10addcld 10260 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 𝐵) ∈ ℂ)
1211halfcld 11478 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ)
13 binom2 13185 . . . . . . . 8 (((𝑋↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑀 + 𝐵) / 2) ∈ ℂ) → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) = ((((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)))
142, 12, 13syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) = ((((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)))
15 2t2e4 11378 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
1615oveq2i 6803 . . . . . . . . . . 11 (𝑋↑(2 · 2)) = (𝑋↑4)
17 2nn0 11510 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
191, 18, 18expmuld 13217 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋↑(2 · 2)) = ((𝑋↑2)↑2))
2016, 19syl5reqr 2819 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋↑2)↑2) = (𝑋↑4))
214a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
2221, 2, 12mul12d 10446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑋↑2) · (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2))))
23 2ne0 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
2511, 21, 24divcan2d 11004 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2)) = (𝑀 + 𝐵))
2625oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑋↑2) · (𝑀 + 𝐵)))
272, 11mulcomd 10262 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑀 + 𝐵)) = ((𝑀 + 𝐵) · (𝑋↑2)))
2826, 27eqtrd 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (2 · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑀 + 𝐵) · (𝑋↑2)))
299, 10, 2adddird 10266 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 + 𝐵) · (𝑋↑2)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2))))
3022, 28, 293eqtrd 2808 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2))) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2))))
3120, 30oveq12d 6810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) = ((𝑋↑4) + ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2)))))
32 4nn0 11512 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ0
33 expcl 13084 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
341, 32, 33sylancl 566 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋↑4) ∈ ℂ)
359, 2mulcld 10261 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
3610, 2mulcld 10261 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
3734, 35, 36add12d 10463 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋↑4) + ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))))
3831, 37eqtrd 2804 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))))
3938oveq1d 6807 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋↑2)↑2) + (2 · ((𝑋↑2) · ((𝑀 + 𝐵) / 2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)))
4034, 36addcld 10260 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
4112sqcld 13212 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) ∈ ℂ)
4235, 40, 41addassd 10263 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑀 · (𝑋↑2)) + ((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2)))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))))
4314, 39, 423eqtrd 2808 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))))
449halfcld 11478 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℂ)
4544, 1mulcld 10261 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑀 / 2) · 𝑋) ∈ ℂ)
46 dquart.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
47 4cn 11299 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
49 4ne0 11318 . . . . . . . . . . . . 13 4 ≠ 0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ≠ 0)
5146, 48, 50divcld 11002 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶 / 4) ∈ ℂ)
5245, 51subcld 10593 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) ∈ ℂ)
53 dquart.m0 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ≠ 0)
543, 53eqnetrrd 3010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0)
55 sqne0 13136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
567, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · 𝑆)↑2) ≠ 0 ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
5754, 56mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · 𝑆) ≠ 0)
58 mulne0b 10869 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
594, 5, 58sylancr 567 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0) ↔ (2 · 𝑆) ≠ 0))
6057, 59mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≠ 0 ∧ 𝑆 ≠ 0))
6160simprd 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ≠ 0)
6252, 5, 21, 61, 24divcan5d 11028 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) / (2 · 𝑆)) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))
6321, 45, 51subdid 10687 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) = ((2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)) − (2 · (𝐶 / 4))))
6421, 44, 1mulassd 10264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑀 / 2)) · 𝑋) = (2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)))
659, 21, 24divcan2d 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · (𝑀 / 2)) = 𝑀)
6665oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑀 / 2)) · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
6764, 66eqtr3d 2806 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
6821, 46, 48, 50divassd 11037 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 4) = (2 · (𝐶 / 4)))
6915oveq2i 6803 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝐶) / (2 · 2)) = ((2 · 𝐶) / 4)
7046, 21, 21, 24, 24divcan5d 11028 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝐶) / (2 · 2)) = (𝐶 / 2))
7169, 70syl5eqr 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝐶) / 4) = (𝐶 / 2))
7268, 71eqtr3d 2806 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝐶 / 4)) = (𝐶 / 2))
7367, 72oveq12d 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · ((𝑀 / 2) · 𝑋)) − (2 · (𝐶 / 4))) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)))
7463, 73eqtrd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)))
7574oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · (((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4))) / (2 · 𝑆)) = (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆)))
7662, 75eqtr3d 2806 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆)))
7776oveq1d 6807 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2) = ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆))↑2))
789, 1mulcld 10261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ ℂ)
7946halfcld 11478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℂ)
8078, 79subcld 10593 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) ∈ ℂ)
8180, 7, 57sqdivd 13227 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2)) / (2 · 𝑆))↑2) = ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) / ((2 · 𝑆)↑2)))
829sqcld 13212 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀↑2) ∈ ℂ)
8382, 2mulcld 10261 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
8478, 46mulcld 10261 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) ∈ ℂ)
8583, 84subcld 10593 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) ∈ ℂ)
8646sqcld 13212 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
8786, 48, 50divcld 11002 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶↑2) / 4) ∈ ℂ)
8885, 87, 9, 53divdird 11040 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)) / 𝑀) = (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
89 binom2sub 13187 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 · 𝑋) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℂ) → (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) = ((((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) + ((𝐶 / 2)↑2)))
9078, 79, 89syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) = ((((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) + ((𝐶 / 2)↑2)))
919, 1sqmuld 13226 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋)↑2) = ((𝑀↑2) · (𝑋↑2)))
9221, 78, 79mul12d 10446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2))) = ((𝑀 · 𝑋) · (2 · (𝐶 / 2))))
9346, 21, 24divcan2d 11004 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · (𝐶 / 2)) = 𝐶)
9493oveq2d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · (2 · (𝐶 / 2))) = ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶))
9592, 94eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2))) = ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶))
9691, 95oveq12d 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) = (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)))
9746, 21, 24sqdivd 13227 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 / 2)↑2) = ((𝐶↑2) / (2↑2)))
98 sq2 13166 . . . . . . . . . . . . 13 (2↑2) = 4
9998oveq2i 6803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶↑2) / (2↑2)) = ((𝐶↑2) / 4)
10097, 99syl6eq 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐶 / 2)↑2) = ((𝐶↑2) / 4))
10196, 100oveq12d 6810 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀 · 𝑋)↑2) − (2 · ((𝑀 · 𝑋) · (𝐶 / 2)))) + ((𝐶 / 2)↑2)) = ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)))
10290, 101eqtr2d 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)) = (((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2))
103102, 3oveq12d 6810 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) + ((𝐶↑2) / 4)) / 𝑀) = ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) / ((2 · 𝑆)↑2)))
10483, 84, 9, 53divsubdird 11041 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) = ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) − (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀)))
10582, 2, 9, 53div23d 11039 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) = (((𝑀↑2) / 𝑀) · (𝑋↑2)))
1069sqvald 13211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀↑2) = (𝑀 · 𝑀))
107106oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 𝑀) = ((𝑀 · 𝑀) / 𝑀))
1089, 9, 53divcan3d 11007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑀) / 𝑀) = 𝑀)
109107, 108eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀↑2) / 𝑀) = 𝑀)
110109oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀↑2) / 𝑀) · (𝑋↑2)) = (𝑀 · (𝑋↑2)))
111105, 110eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) = (𝑀 · (𝑋↑2)))
1129, 1, 46mul32d 10447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) = ((𝑀 · 𝐶) · 𝑋))
1139, 46, 1mulassd 10264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑀 · 𝐶) · 𝑋) = (𝑀 · (𝐶 · 𝑋)))
114112, 113eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) = (𝑀 · (𝐶 · 𝑋)))
115114oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀) = ((𝑀 · (𝐶 · 𝑋)) / 𝑀))
11646, 1mulcld 10261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
117116, 9, 53divcan3d 11007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 · (𝐶 · 𝑋)) / 𝑀) = (𝐶 · 𝑋))
118115, 117eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀) = (𝐶 · 𝑋))
119111, 118oveq12d 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) / 𝑀) − (((𝑀 · 𝑋) · 𝐶) / 𝑀)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)))
120104, 119eqtrd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)))
121120oveq1d 6807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
12287, 9, 53divcld 11002 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
12335, 116, 122subsubd 10621 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) − (𝐶 · 𝑋)) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
124121, 123eqtr4d 2807 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((𝑀↑2) · (𝑋↑2)) − ((𝑀 · 𝑋) · 𝐶)) / 𝑀) + (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
12588, 103, 1243eqtr3d 2812 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑀 · 𝑋) − (𝐶 / 2))↑2) / ((2 · 𝑆)↑2)) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
12677, 81, 1253eqtrd 2808 . . . . . 6 (𝜑 → (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2) = ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
12743, 126oveq12d 6810 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = (((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))) − ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))))
12840, 41addcld 10260 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) ∈ ℂ)
129116, 122subcld 10593 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) ∈ ℂ)
13035, 128, 129pnncand 10632 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑀 · (𝑋↑2)) + (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2))) − ((𝑀 · (𝑋↑2)) − ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
131122negcld 10580 . . . . . . 7 (𝜑 → -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀) ∈ ℂ)
13240, 41, 116, 131add4d 10465 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
133116, 122negsubd 10599 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 · 𝑋) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
134133oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))))
13541, 122negsubd 10599 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)))
136 dquart.i . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
137 dquart.i2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
138 dquart.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
139 dquart.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑀↑3) + ((2 · 𝐵) · (𝑀↑2))) + ((((𝐵↑2) − (4 · 𝐷)) · 𝑀) + -(𝐶↑2))) = 0)
14010, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137, 138, 139dquartlem2 24799 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
141135, 140eqtrd 2804 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀)) = 𝐷)
142141oveq2d 6808 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + 𝐷))
14340, 116, 138addassd 10263 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + 𝐷) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
144142, 143eqtrd 2804 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (𝐶 · 𝑋)) + ((((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2) + -(((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
145132, 134, 1443eqtr3d 2812 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + (((𝑀 + 𝐵) / 2)↑2)) + ((𝐶 · 𝑋) − (((𝐶↑2) / 4) / 𝑀))) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
146127, 130, 1453eqtrd 2808 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)))
1472, 12addcld 10260 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
14852, 5, 61divcld 11002 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ)
149 subsq 13178 . . . . 5 ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ ∧ ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) ∈ ℂ) → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
150147, 148, 149syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2))↑2) − (((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)↑2)) = ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
151146, 150eqtr3d 2806 . . 3 (𝜑 → (((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))))
152151eqeq1d 2772 . 2 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) = 0))
153147, 148addcld 10260 . . 3 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
154147, 148subcld 10593 . . 3 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) ∈ ℂ)
155153, 154mul0ord 10878 . 2 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) · (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆))) = 0 ↔ ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ∨ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0)))
15610, 46, 1, 5, 3, 53, 136, 137dquartlem1 24798 . . 3 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼))))
1575negcld 10580 . . . . 5 (𝜑 → -𝑆 ∈ ℂ)
158 sqneg 13129 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑆) ∈ ℂ → (-(2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 𝑆)↑2))
1597, 158syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(2 · 𝑆)↑2) = ((2 · 𝑆)↑2))
1603, 159eqtr4d 2807 . . . . . 6 (𝜑𝑀 = (-(2 · 𝑆)↑2))
161 mulneg2 10668 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (2 · -𝑆) = -(2 · 𝑆))
1624, 5, 161sylancr 567 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · -𝑆) = -(2 · 𝑆))
163162oveq1d 6807 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · -𝑆)↑2) = (-(2 · 𝑆)↑2))
164160, 163eqtr4d 2807 . . . . 5 (𝜑𝑀 = ((2 · -𝑆)↑2))
165 dquart.j . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
166 dquart.j2 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
1675sqcld 13212 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆↑2) ∈ ℂ)
168167negcld 10580 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑆↑2) ∈ ℂ)
16910halfcld 11478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 / 2) ∈ ℂ)
170168, 169subcld 10593 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) ∈ ℂ)
17151, 5, 61divcld 11002 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 / 4) / 𝑆) ∈ ℂ)
172170, 171negsubd 10599 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + -((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) − ((𝐶 / 4) / 𝑆)))
173 sqneg 13129 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ ℂ → (-𝑆↑2) = (𝑆↑2))
1745, 173syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-𝑆↑2) = (𝑆↑2))
175174eqcomd 2776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆↑2) = (-𝑆↑2))
176175negeqd 10476 . . . . . . . 8 (𝜑 → -(𝑆↑2) = -(-𝑆↑2))
177176oveq1d 6807 . . . . . . 7 (𝜑 → (-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) = (-(-𝑆↑2) − (𝐵 / 2)))
17851, 5, 61divneg2d 11016 . . . . . . 7 (𝜑 → -((𝐶 / 4) / 𝑆) = ((𝐶 / 4) / -𝑆))
179177, 178oveq12d 6810 . . . . . 6 (𝜑 → ((-(𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + -((𝐶 / 4) / 𝑆)) = ((-(-𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / -𝑆)))
180166, 172, 1793eqtr2d 2810 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽↑2) = ((-(-𝑆↑2) − (𝐵 / 2)) + ((𝐶 / 4) / -𝑆)))
18110, 46, 1, 157, 164, 53, 165, 180dquartlem1 24798 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (--𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (--𝑆𝐽))))
18252, 5, 61divneg2d 11016 . . . . . . 7 (𝜑 → -((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆) = ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆))
183182oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + -((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)))
184147, 148negsubd 10599 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + -((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)))
185183, 184eqtr3d 2806 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)) = (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)))
186185eqeq1d 2772 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / -𝑆)) = 0 ↔ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0))
1875negnegd 10584 . . . . . . 7 (𝜑 → --𝑆 = 𝑆)
188187oveq1d 6807 . . . . . 6 (𝜑 → (--𝑆 + 𝐽) = (𝑆 + 𝐽))
189188eqeq2d 2780 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 = (--𝑆 + 𝐽) ↔ 𝑋 = (𝑆 + 𝐽)))
190187oveq1d 6807 . . . . . 6 (𝜑 → (--𝑆𝐽) = (𝑆𝐽))
191190eqeq2d 2780 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 = (--𝑆𝐽) ↔ 𝑋 = (𝑆𝐽)))
192189, 191orbi12d 883 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 = (--𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (--𝑆𝐽)) ↔ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽))))
193181, 186, 1923bitr3d 298 . . 3 (𝜑 → ((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ↔ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽))))
194156, 193orbi12d 883 . 2 (𝜑 → (((((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) + ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0 ∨ (((𝑋↑2) + ((𝑀 + 𝐵) / 2)) − ((((𝑀 / 2) · 𝑋) − (𝐶 / 4)) / 𝑆)) = 0) ↔ ((𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼)) ∨ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽)))))
195152, 155, 1943bitrd 294 1 (𝜑 → ((((𝑋↑4) + (𝐵 · (𝑋↑2))) + ((𝐶 · 𝑋) + 𝐷)) = 0 ↔ ((𝑋 = (-𝑆 + 𝐼) ∨ 𝑋 = (-𝑆𝐼)) ∨ (𝑋 = (𝑆 + 𝐽) ∨ 𝑋 = (𝑆𝐽)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137   + caddc 10140   · cmul 10142  cmin 10467  -cneg 10468   / cdiv 10885  2c2 11271  3c3 11272  4c4 11273  0cn0 11493  cexp 13066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-seq 13008  df-exp 13067
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