MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdwd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdwd 18456
Description: A mapping being a finitely supported function in the family 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.) (Proof shortened by OpenAI, 30-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dprdff.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdwd.3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑥))
dprdwd.4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
dprdwd (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐴,   𝑥,   𝑥,𝐺   ,𝑖,𝐼,𝑥   0 ,   𝜑,𝑥   𝑆,,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝑊(𝑥,,𝑖)   0 (𝑥,𝑖)

Proof of Theorem dprdwd
StepHypRef Expression
1 eqidd 2652 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) = (𝑥𝐼𝐴))
2 dprdwd.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴 ∈ (𝑆𝑥))
32ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐴 ∈ (𝑆𝑥))
4 dprdff.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
5 dprdff.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
64, 5dprddomcld 18446 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
7 mptelixpg 7987 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑥𝐼 (𝑆𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 𝐴 ∈ (𝑆𝑥)))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑥𝐼 (𝑆𝑥) ↔ ∀𝑥𝐼 𝐴 ∈ (𝑆𝑥)))
93, 8mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑥𝐼 (𝑆𝑥))
10 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑖 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝑖))
1110cbvixpv 7968 . . . . 5 X𝑥𝐼 (𝑆𝑥) = X𝑖𝐼 (𝑆𝑖)
129, 11syl6eleq 2740 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑖𝐼 (𝑆𝑖))
13 dprdwd.4 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) finSupp 0 )
14 breq1 4688 . . . . 5 ( = (𝑥𝐼𝐴) → ( finSupp 0 ↔ (𝑥𝐼𝐴) finSupp 0 ))
1514elrab 3396 . . . 4 ((𝑥𝐼𝐴) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 } ↔ ((𝑥𝐼𝐴) ∈ X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∧ (𝑥𝐼𝐴) finSupp 0 ))
1612, 13, 15sylanbrc 699 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 })
17 dprdff.w . . 3 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
1816, 17syl6eleqr 2741 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ 𝑊)
191, 18eqeltrrd 2731 1 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐴) ∈ 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  Xcixp 7950   finSupp cfsupp 8316   DProd cdprd 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-ixp 7951  df-dprd 18440
This theorem is referenced by:  dprdfid  18462  dprdfinv  18464  dprdfadd  18465  dmdprdsplitlem  18482  dpjidcl  18503  dchrptlem3  25036
  Copyright terms: Public domain W3C validator