Theorem dprdval0prc 18622

Description: The internal direct product of a family of subgroups indexed by a proper class is empty. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dprdval0prc	⊢ (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)

Proof of Theorem dprdval0prc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nel 3037	. . 3 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
2		dmexg 7264	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
3	2	con3i 150	. . 3 ⊢ (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 207	. 2 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝑆 ∈ V)
5		reldmdprd 18617	. . 3 ⊢ Rel dom DProd
6	5	ovprc2 6850	. 2 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)
7	4, 6	syl 17	1 ⊢ (dom 𝑆 ∉ V → (𝐺 DProd 𝑆) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ∉ wnel 3036  Vcvv 3341  ∅c0 4059  dom cdm 5267  (class class class)co 6815   DProd cdprd 18613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-dm 5277  df-rn 5278  df-iota 6013  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-dprd 18615

This theorem is referenced by: (None)