MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdsubg 18469
Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
dprdsubg (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdsubg
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑖 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21dprdssv 18461 . . 3 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
32a1i 11 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
4 eqid 2651 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5 eqid 2651 . . . 4 {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
6 id 22 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺dom DProd 𝑆)
7 eqidd 2652 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 = dom 𝑆)
8 fvex 6239 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
9 fnconstg 6131 . . . . . 6 ((0g𝐺) ∈ V → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆)
108, 9mp1i 13 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆)
118fvconst2 6510 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ dom 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) = (0g𝐺))
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) = (0g𝐺))
13 dprdf 18451 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
1413ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺))
154subg0cl 17649 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑘) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ (𝑆𝑘))
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → (0g𝐺) ∈ (𝑆𝑘))
1712, 16eqeltrd 2730 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑘 ∈ dom 𝑆) → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
1817ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
19 df-nel 2927 . . . . . . . 8 (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
20 dprddomprc 18445 . . . . . . . 8 (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
2119, 20sylbir 225 . . . . . . 7 (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
2221con4i 113 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
238a1i 11 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆 → (0g𝐺) ∈ V)
2422, 23fczfsuppd 8334 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) finSupp (0g𝐺))
255, 6, 7dprdw 18455 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↔ ((dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) Fn dom 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ dom 𝑆((dom 𝑆 × {(0g𝐺)})‘𝑘) ∈ (𝑆𝑘) ∧ (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) finSupp (0g𝐺))))
2610, 18, 24, 25mpbir3and 1264 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (dom 𝑆 × {(0g𝐺)}) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
274, 5, 6, 7, 26eldprdi 18463 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 Σg (dom 𝑆 × {(0g𝐺)})) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
28 ne0i 3954 . . 3 ((𝐺 Σg (dom 𝑆 × {(0g𝐺)})) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
2927, 28syl 17 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅)
30 eqid 2651 . . . . 5 dom 𝑆 = dom 𝑆
314, 5eldprd 18449 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
3231baibd 968 . . . . . 6 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
334, 5eldprd 18449 . . . . . . 7 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
3433baibd 968 . . . . . 6 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → (𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
3532, 34anbi12d 747 . . . . 5 ((dom 𝑆 = dom 𝑆𝐺dom DProd 𝑆) → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
3630, 35mpan 706 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔))))
37 reeanv 3136 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) ↔ (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)))
38 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝐺dom DProd 𝑆)
39 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
40 simprl 809 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
41 simprr 811 . . . . . . . . . 10 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
42 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (-g𝐺) = (-g𝐺)
434, 5, 38, 39, 40, 41, 42dprdfsub 18466 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝑓𝑓 (-g𝐺)𝑔) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ (𝐺 Σg (𝑓𝑓 (-g𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔))))
4443simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓𝑓 (-g𝐺)𝑔)) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
4543simpld 474 . . . . . . . . 9 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝑓𝑓 (-g𝐺)𝑔) ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
464, 5, 38, 39, 45eldprdi 18463 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → (𝐺 Σg (𝑓𝑓 (-g𝐺)𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4744, 46eqeltrrd 2731 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
48 oveq12 6699 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) = ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)))
4948eleq1d 2715 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → ((𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ ((𝐺 Σg 𝑓)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝑔)) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5047, 49syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ (𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ∧ 𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})) → ((𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5150rexlimdvva 3067 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ 𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5237, 51syl5bir 233 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) ∧ ∃𝑔 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑦 = (𝐺 Σg 𝑔)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5336, 52sylbid 230 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)) → (𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆)))
5453ralrimivv 2999 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
55 dprdgrp 18450 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
561, 42issubg4 17660 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
5755, 56syl 17 . 2 (𝐺dom DProd 𝑆 → ((𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)∀𝑦 ∈ (𝐺 DProd 𝑆)(𝑥(-g𝐺)𝑦) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))))
583, 29, 54, 57mpbir3and 1264 1 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wnel 2926  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   × cxp 5141  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  Xcixp 7950   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  SubGrpcsubg 17635   DProd cdprd 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-cmn 18241  df-dprd 18440
This theorem is referenced by:  dprdspan  18472  dprdz  18475  dprdcntz2  18483  dprddisj2  18484  dprd2da  18487  dmdprdsplit2lem  18490  dmdprdsplit2  18491  dprdsplit  18493  dpjf  18502  dpjidcl  18503  dpjlid  18506  dpjghm  18508  ablfac1c  18516  ablfac1eulem  18517  ablfac1eu  18518  pgpfaclem1  18526
  Copyright terms: Public domain W3C validator