Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdssv 18461
 Description: The internal direct product of a family of subgroups is a subset of the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprdssv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdssv (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem dprdssv
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . 4 dom 𝑆 = dom 𝑆
2 eqid 2651 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2651 . . . . 5 {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
42, 3eldprd 18449 . . . 4 (dom 𝑆 = dom 𝑆 → (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓))))
51, 4ax-mp 5 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) ↔ (𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)))
6 dprdssv.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2651 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
8 dprdgrp 18450 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
9 grpmnd 17476 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Mnd)
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
12 reldmdprd 18442 . . . . . . . . . 10 Rel dom DProd
1312brrelex2i 5193 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆 ∈ V)
14 dmexg 7139 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ V → dom 𝑆 ∈ V)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 ∈ V)
17 simpl 472 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
18 eqidd 2652 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 = dom 𝑆)
19 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
203, 17, 18, 19, 6dprdff 18457 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:dom 𝑆𝐵)
213, 17, 18, 19, 7dprdfcntz 18460 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
223, 17, 18, 19dprdffsupp 18459 . . . . . . 7 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g𝐺))
236, 2, 7, 11, 16, 20, 21, 22gsumzcl 18358 . . . . . 6 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵)
24 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝐵))
2523, 24syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝐺dom DProd 𝑆𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥𝐵))
2625rexlimdva 3060 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆 → (∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓) → 𝑥𝐵))
2726imp 444 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ ∃𝑓 ∈ {X𝑖 ∈ dom 𝑆(𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}𝑥 = (𝐺 Σg 𝑓)) → 𝑥𝐵)
285, 27sylbi 207 . 2 (𝑥 ∈ (𝐺 DProd 𝑆) → 𝑥𝐵)
2928ssriv 3640 1 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝐵
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Xcixp 7950   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Mndcmnd 17341  Grpcgrp 17469  Cntzccntz 17794   DProd cdprd 18438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-dprd 18440 This theorem is referenced by:  dprdfsub  18466  dprdf11  18468  dprdsubg  18469  dprdspan  18472  dprdcntz2  18483  dprd2da  18487  dmdprdsplit2lem  18490  ablfac1c  18516  ablfac1eulem  18517  ablfac1eu  18518
 Copyright terms: Public domain W3C validator