MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdsplit 18647
Description: The direct product is the binary subgroup product ("sum") of the direct products of the partition. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdsplit.2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
dprdsplit.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdsplit.u (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
dprdsplit.s = (LSSum‘𝐺)
dprdsplit.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dprdsplit (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))

Proof of Theorem dprdsplit
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdsplit.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdsplit.2 . . . 4 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3 fdm 6212 . . . 4 (𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺) → dom 𝑆 = 𝐼)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
5 ssun1 3919 . . . . . . . 8 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
6 dprdsplit.u . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 = (𝐶𝐷))
75, 6syl5sseqr 3795 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐼)
81, 4, 7dprdres 18627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
98simpld 477 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
10 dprdsubg 18623 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 ssun2 3920 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1312, 6syl5sseqr 3795 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐼)
141, 4, 13dprdres 18627 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
1514simpld 477 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
16 dprdsubg 18623 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18 dprdsplit.i . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
19 eqid 2760 . . . . . . 7 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
20 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
212, 18, 6, 19, 20dmdprdsplit 18646 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = {(0g𝐺)})))
221, 21mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆𝐷)) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∩ (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) = {(0g𝐺)}))
2322simp2d 1138 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
24 dprdsplit.s . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
2524, 19lsmsubg 18269 . . . 4 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷)))) → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2611, 17, 23, 25syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
276eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐼𝑥 ∈ (𝐶𝐷)))
28 elun 3896 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
2927, 28syl6bb 276 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷)))
3029biimpa 502 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑥𝐶𝑥𝐷))
31 fvres 6368 . . . . . . . 8 (𝑥𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
3231adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
339adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
342, 7fssresd 6232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺))
35 fdm 6212 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐶):𝐶⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
3736adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
38 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
3933, 37, 38dprdub 18624 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
4032, 39eqsstr3d 3781 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)))
4124lsmub1 18271 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
4211, 17, 41syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
4342adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
4440, 43sstrd 3754 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
45 fvres 6368 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4645adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
4715adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
482, 13fssresd 6232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺))
49 fdm 6212 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐷):𝐷⟶(SubGrp‘𝐺) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
5150adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
52 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
5347, 51, 52dprdub 18624 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
5446, 53eqsstr3d 3781 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)))
5524lsmub2 18272 . . . . . . . 8 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5611, 17, 55syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5756adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5854, 57sstrd 3754 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
5944, 58jaodan 861 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑥𝐷)) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
6030, 59syldan 488 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
611, 4, 26, 60dprdlub 18625 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
628simprd 482 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
6314simprd 482 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
64 dprdsubg 18623 . . . . 5 (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
651, 64syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺))
6624lsmlub 18278 . . . 4 (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐺 DProd 𝑆) ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6711, 17, 65, 66syl3anc 1477 . . 3 (𝜑 → (((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)) ↔ ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
6862, 63, 67mpbi2and 994 . 2 (𝜑 → ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆))
6961, 68eqssd 3761 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ((𝐺 DProd (𝑆𝐶)) (𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  0gc0g 16302  SubGrpcsubg 17789  Cntzccntz 17948  LSSumclsm 18249   DProd cdprd 18592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-gim 17902  df-cntz 17950  df-oppg 17976  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-dprd 18594
This theorem is referenced by:  dprdpr  18649  dpjlsm  18653  ablfac1eulem  18671  ablfac1eu  18672  pgpfaclem1  18680
  Copyright terms: Public domain W3C validator