Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdpr 18495
 Description: A singleton family is an internal direct product, the product of which is the given subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dmdprdpr.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
dmdprdpr.0 0 = (0g𝐺)
dmdprdpr.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dmdprdpr.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdpr.s = (LSSum‘𝐺)
dprdpr.1 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
dprdpr.2 (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
Assertion
Ref Expression
dprdpr (𝜑 → (𝐺 DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇})) = (𝑆 𝑇))

Proof of Theorem dprdpr
StepHypRef Expression
1 dmdprdpr.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 dmdprdpr.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 xpscf 16273 . . . 4 (({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)))
41, 2, 3sylanbrc 699 . . 3 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺))
5 1n0 7620 . . . . 5 1𝑜 ≠ ∅
65necomi 2877 . . . 4 ∅ ≠ 1𝑜
7 disjsn2 4279 . . . 4 (∅ ≠ 1𝑜 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ({∅} ∩ {1𝑜}) = ∅)
9 df2o3 7618 . . . . 5 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
10 df-pr 4213 . . . . 5 {∅, 1𝑜} = ({∅} ∪ {1𝑜})
119, 10eqtri 2673 . . . 4 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜})
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2𝑜 = ({∅} ∪ {1𝑜}))
13 dprdpr.s . . 3 = (LSSum‘𝐺)
14 dprdpr.1 . . . 4 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
15 dprdpr.2 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
16 dmdprdpr.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
17 dmdprdpr.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
1816, 17, 1, 2dmdprdpr 18494 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↔ (𝑆 ⊆ (𝑍𝑇) ∧ (𝑆𝑇) = { 0 })))
1914, 15, 18mpbir2and 977 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇}))
204, 8, 12, 13, 19dprdsplit 18493 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇})) = ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))))
21 ffn 6083 . . . . . . . 8 (({𝑆} +𝑐 {𝑇}):2𝑜⟶(SubGrp‘𝐺) → ({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
224, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝜑({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜)
23 0ex 4823 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
2423prid1 4329 . . . . . . . 8 ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
2524, 9eleqtrri 2729 . . . . . . 7 ∅ ∈ 2𝑜
26 fnressn 6465 . . . . . . 7 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ ∅ ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
2722, 25, 26sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩})
28 xpsc0 16267 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
291, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅) = 𝑆)
3029opeq2d 4440 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩ = ⟨∅, 𝑆⟩)
3130sneqd 4222 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨∅, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘∅)⟩} = {⟨∅, 𝑆⟩})
3227, 31eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅}) = {⟨∅, 𝑆⟩})
3332oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}))
34 dprdsn 18481 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
3523, 1, 34sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨∅, 𝑆⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆))
3635simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨∅, 𝑆⟩}) = 𝑆)
3733, 36eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) = 𝑆)
38 1on 7612 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ On
3938elexi 3244 . . . . . . . . 9 1𝑜 ∈ V
4039prid2 4330 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
4140, 9eleqtrri 2729 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ 2𝑜
42 fnressn 6465 . . . . . . 7 ((({𝑆} +𝑐 {𝑇}) Fn 2𝑜 ∧ 1𝑜 ∈ 2𝑜) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
4322, 41, 42sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩})
44 xpsc1 16268 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
452, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜) = 𝑇)
4645opeq2d 4440 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩ = ⟨1𝑜, 𝑇⟩)
4746sneqd 4222 . . . . . 6 (𝜑 → {⟨1𝑜, (({𝑆} +𝑐 {𝑇})‘1𝑜)⟩} = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
4843, 47eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}) = {⟨1𝑜, 𝑇⟩})
4948oveq2d 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}))
50 dprdsn 18481 . . . . . 6 ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
5138, 2, 50sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺dom DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩} ∧ (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇))
5251simprd 478 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 DProd {⟨1𝑜, 𝑇⟩}) = 𝑇)
5349, 52eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜})) = 𝑇)
5437, 53oveq12d 6708 . 2 (𝜑 → ((𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {∅})) (𝐺 DProd (({𝑆} +𝑐 {𝑇}) ↾ {1𝑜}))) = (𝑆 𝑇))
5520, 54eqtrd 2685 1 (𝜑 → (𝐺 DProd ({𝑆} +𝑐 {𝑇})) = (𝑆 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143   ↾ cres 5145  Oncon0 5761   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599   +𝑐 ccda 9027  0gc0g 16147  SubGrpcsubg 17635  Cntzccntz 17794  LSSumclsm 18095   DProd cdprd 18438 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-dprd 18440 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator