MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdlub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdlub 18633
Description: The direct product is smaller than any subgroup which contains the factors. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdlub.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdlub.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdlub.3 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
dprdlub.4 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
dprdlub (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘

Proof of Theorem dprdlub
Dummy variables 𝑓 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdlub.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdlub.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 eqid 2771 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
4 eqid 2771 . . . 4 {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}
53, 4dprdval 18610 . . 3 ((𝐺dom DProd 𝑆 ∧ dom 𝑆 = 𝐼) → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
61, 2, 5syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)))
7 eqid 2771 . . . . 5 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
81adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺dom DProd 𝑆)
9 dprdgrp 18612 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
10 grpmnd 17637 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
118, 9, 103syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐺 ∈ Mnd)
121, 2dprddomcld 18608 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
1312adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝐼 ∈ V)
14 dprdlub.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1514adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
16 subgsubm 17824 . . . . . 6 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
1715, 16syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺))
182adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → dom 𝑆 = 𝐼)
19 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)})
20 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
214, 8, 18, 19, 20dprdff 18619 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺))
22 ffn 6185 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝐺) → 𝑓 Fn 𝐼)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 Fn 𝐼)
24 dprdlub.4 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
2524adantlr 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑆𝑘) ⊆ 𝑇)
264, 8, 18, 19dprdfcl 18620 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ (𝑆𝑘))
2725, 26sseldd 3753 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
2827ralrimiva 3115 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇)
29 ffnfv 6530 . . . . . 6 (𝑓:𝐼𝑇 ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑓𝑘) ∈ 𝑇))
3023, 28, 29sylanbrc 572 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓:𝐼𝑇)
314, 8, 18, 19, 7dprdfcntz 18622 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → ran 𝑓 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝑓))
324, 8, 18, 19dprdffsupp 18621 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → 𝑓 finSupp (0g𝐺))
333, 7, 11, 13, 17, 30, 31, 32gsumzsubmcl 18525 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}) → (𝐺 Σg 𝑓) ∈ 𝑇)
34 eqid 2771 . . . 4 (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) = (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓))
3533, 34fmptd 6527 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)):{X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}⟶𝑇)
36 frn 6193 . . 3 ((𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)):{X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)}⟶𝑇 → ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) ⊆ 𝑇)
3735, 36syl 17 . 2 (𝜑 → ran (𝑓 ∈ {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp (0g𝐺)} ↦ (𝐺 Σg 𝑓)) ⊆ 𝑇)
386, 37eqsstrd 3788 1 (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  wss 3723   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ran crn 5250   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  Xcixp 8062   finSupp cfsupp 8431  Basecbs 16064  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  SubMndcsubmnd 17542  Grpcgrp 17630  SubGrpcsubg 17796  Cntzccntz 17955   DProd cdprd 18600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-cntz 17957  df-dprd 18602
This theorem is referenced by:  dprdspan  18634  dprdz  18637  dprdcntz2  18645  dprd2dlem1  18648  dprdsplit  18655  ablfac1eu  18680
  Copyright terms: Public domain W3C validator