MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfsub 18628
Description: Take the difference of group sums over two families of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdfadd.4 (𝜑𝐻𝑊)
dprdfsub.b = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdfsub (𝜑 → ((𝐹𝑓 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑓 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻))))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝑖,𝐺   ,𝐼,𝑖   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   (,𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfsub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . . . . 8 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
2 eldprdi.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 eldprdi.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 eldprdi.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝑊)
5 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5dprdff 18619 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
76ffvelrnda 6502 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
8 dprdfadd.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝑊)
91, 2, 3, 8, 5dprdff 18619 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
109ffvelrnda 6502 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐻𝑘) ∈ (Base‘𝐺))
11 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
12 eqid 2771 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
13 dprdfsub.b . . . . . . 7 = (-g𝐺)
145, 11, 12, 13grpsubval 17673 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻𝑘) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
157, 10, 14syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
1615mpteq2dva 4878 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
172, 3dprddomcld 18608 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
186feqmptd 6391 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐼 ↦ (𝐹𝑘)))
199feqmptd 6391 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐼 ↦ (𝐻𝑘)))
2017, 7, 10, 18, 19offval2 7061 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝐻) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
21 fvexd 6344 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
22 dprdgrp 18612 . . . . . . . . . 10 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
232, 22syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
245, 12, 23grpinvf1o 17693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺))
25 f1of 6278 . . . . . . . 8 ((invg𝐺):(Base‘𝐺)–1-1-onto→(Base‘𝐺) → (invg𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (invg𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
2726feqmptd 6391 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
28 fveq2 6332 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
2910, 19, 27, 28fmptco 6539 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐼 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3017, 7, 21, 18, 29offval2 7061 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
3116, 20, 303eqtr4d 2815 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝐻) = (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
32 eldprdi.0 . . . . 5 0 = (0g𝐺)
3332, 1, 2, 3, 8, 12dprdfinv 18626 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
3433simpld 482 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) ∈ 𝑊)
3532, 1, 2, 3, 4, 34, 11dprdfadd 18627 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)))))
3635simpld 482 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) ∈ 𝑊)
3731, 36eqeltrd 2850 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 𝐻) ∈ 𝑊)
3831oveq2d 6809 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 𝐻)) = (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
3933simprd 483 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = ((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻)))
4039oveq2d 6809 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
4135simprd 483 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)(𝐺 Σg ((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
425dprdssv 18623 . . . . . 6 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
4332, 1, 2, 3, 4eldprdi 18625 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4442, 43sseldi 3750 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
4532, 1, 2, 3, 8eldprdi 18625 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4642, 45sseldi 3750 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
475, 11, 12, 13grpsubval 17673 . . . . 5 (((𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
4844, 46, 47syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐺 Σg 𝐻))))
4940, 41, 483eqtr4d 2815 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
5038, 49eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻)))
5137, 50jca 501 1 (𝜑 → ((𝐹𝑓 𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑓 𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹) (𝐺 Σg 𝐻))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  Vcvv 3351   class class class wbr 4786  cmpt 4863  dom cdm 5249  ccom 5253  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑓 cof 7042  Xcixp 8062   finSupp cfsupp 8431  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  -gcsg 17632   DProd cdprd 18600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-gim 17909  df-cntz 17957  df-oppg 17983  df-cmn 18402  df-dprd 18602
This theorem is referenced by:  dprdfeq0  18629  dprdf11  18630  dprdsubg  18631
  Copyright terms: Public domain W3C validator