MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdfinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdfinv 18618
Description: Take the inverse of a group sum over a family of elements of disjoint subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdfinv.b 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdfinv (𝜑 → ((𝑁𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝑖,𝐺   ,𝐼,𝑖   ,𝑁   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝑁(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdfinv
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.1 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdgrp 18604 . . . . . 6 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
5 dprdfinv.b . . . . . 6 𝑁 = (invg𝐺)
64, 5grpinvf 17667 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
73, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
8 eldprdi.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
9 eldprdi.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
10 eldprdi.3 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑊)
118, 1, 9, 10, 4dprdff 18611 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
12 fcompt 6563 . . . 4 ((𝑁:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺) ∧ 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺)) → (𝑁𝐹) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))))
137, 11, 12syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝐹) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))))
141, 9dprdf2 18606 . . . . . 6 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
1514ffvelrnda 6522 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
168, 1, 9, 10dprdfcl 18612 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
175subginvcl 17804 . . . . 5 (((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥)) → (𝑁‘(𝐹𝑥)) ∈ (𝑆𝑥))
1815, 16, 17syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑁‘(𝐹𝑥)) ∈ (𝑆𝑥))
191, 9dprddomcld 18600 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
20 mptexg 6648 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))) ∈ V)
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))) ∈ V)
22 funmpt 6087 . . . . . 6 Fun (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥)))
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → Fun (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))))
248, 1, 9, 10dprdffsupp 18613 . . . . 5 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
25 ssid 3765 . . . . . . . . . 10 (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 )
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
27 eldprdi.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝐺)
28 fvex 6362 . . . . . . . . . . 11 (0g𝐺) ∈ V
2927, 28eqeltri 2835 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑0 ∈ V)
3111, 26, 19, 30suppssr 7495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝐹𝑥) = 0 )
3231fveq2d 6356 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹𝑥)) = (𝑁0 ))
3327, 5grpinvid 17677 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )
343, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁0 ) = 0 )
3534adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁0 ) = 0 )
3632, 35eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑁‘(𝐹𝑥)) = 0 )
3736, 19suppss2 7498 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))
38 fsuppsssupp 8456 . . . . 5 ((((𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))) ∈ V ∧ Fun (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥)))) ∧ (𝐹 finSupp 0 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))) supp 0 ) ⊆ (𝐹 supp 0 ))) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))) finSupp 0 )
3921, 23, 24, 37, 38syl22anc 1478 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))) finSupp 0 )
408, 1, 9, 18, 39dprdwd 18610 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝑁‘(𝐹𝑥))) ∈ 𝑊)
4113, 40eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝑁𝐹) ∈ 𝑊)
42 eqid 2760 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
438, 1, 9, 10, 42dprdfcntz 18614 . . 3 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘ran 𝐹))
444, 27, 42, 5, 3, 19, 11, 43, 24gsumzinv 18545 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑁𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹)))
4541, 44jca 555 1 (𝜑 → ((𝑁𝐹) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝑁𝐹)) = (𝑁‘(𝐺 Σg 𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ccom 5270  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813   supp csupp 7463  Xcixp 8074   finSupp cfsupp 8440  Basecbs 16059  0gc0g 16302   Σg cgsu 16303  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  SubGrpcsubg 17789  Cntzccntz 17948   DProd cdprd 18592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-gim 17902  df-cntz 17950  df-oppg 17976  df-cmn 18395  df-dprd 18594
This theorem is referenced by:  dprdfsub  18620
  Copyright terms: Public domain W3C validator