MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdff 18457
Description: A finitely supported function in 𝑆 is a function into the base. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 11-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdff.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
dprdff.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdff.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdff.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdff.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdff (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝑖,𝐼   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐵(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(,𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdff
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdff.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝑊)
2 dprdff.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
3 dprdff.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
4 dprdff.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
52, 3, 4dprdw 18455 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑊 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 )))
61, 5mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
76simp1d 1093 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
86simp2d 1094 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥))
93, 4dprdf2 18452 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
109ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
11 dprdff.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
1211subgss 17642 . . . . . 6 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1310, 12syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ⊆ 𝐵)
1413sseld 3635 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
1514ralimdva 2991 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ (𝑆𝑥) → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
168, 15mpd 15 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
17 ffnfv 6428 . 2 (𝐹:𝐼𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
187, 16, 17sylanbrc 699 1 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  Xcixp 7950   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  SubGrpcsubg 17635   DProd cdprd 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-ixp 7951  df-subg 17638  df-dprd 18440
This theorem is referenced by:  dprdfcntz  18460  dprdssv  18461  dprdfid  18462  dprdfinv  18464  dprdfadd  18465  dprdfsub  18466  dprdfeq0  18467  dprdf11  18468  dprdlub  18471  dmdprdsplitlem  18482  dprddisj2  18484  dpjidcl  18503
  Copyright terms: Public domain W3C validator