MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf2 18452
Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprdf2 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem dprdf2
StepHypRef Expression
1 dprdcntz.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdf 18451 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺))
4 dprdcntz.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
54feq2d 6069 . 2 (𝜑 → (𝑆:dom 𝑆⟶(SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺)))
63, 5mpbid 222 1 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  SubGrpcsubg 17635   DProd cdprd 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-ixp 7951  df-dprd 18440
This theorem is referenced by:  dprdff  18457  dprdfid  18462  dprdfinv  18464  dprdfadd  18465  dprdfeq0  18467  dprdres  18473  dprdss  18474  dprdf1o  18477  dprdf1  18478  subgdprd  18480  dmdprdsplitlem  18482  dprdcntz2  18483  dpjlem  18496  dpjcntz  18497  dpjdisj  18498  dpjlsm  18499  dpjf  18502  dpjidcl  18503  dpjlid  18506  dpjghm  18508  dpjghm2  18509  ablfac1c  18516  ablfac1eulem  18517  ablfac1eu  18518  ablfaclem2  18531  ablfaclem3  18532  dchrptlem3  25036
  Copyright terms: Public domain W3C validator