MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdf11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdf11 18629
Description: Two group sums over a direct product that give the same value are equal as functions. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eldprdi.0 0 = (0g𝐺)
eldprdi.w 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
eldprdi.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
eldprdi.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
eldprdi.3 (𝜑𝐹𝑊)
dprdf11.4 (𝜑𝐻𝑊)
Assertion
Ref Expression
dprdf11 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))
Distinct variable groups:   ,𝐹   ,𝐻   ,𝑖,𝐺   ,𝐼,𝑖   0 ,   𝑆,,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(,𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑊(,𝑖)   0 (𝑖)

Proof of Theorem dprdf11
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldprdi.w . . . . 5 𝑊 = {X𝑖𝐼 (𝑆𝑖) ∣ finSupp 0 }
2 eldprdi.1 . . . . 5 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 eldprdi.2 . . . . 5 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
4 eldprdi.3 . . . . 5 (𝜑𝐹𝑊)
5 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
61, 2, 3, 4, 5dprdff 18618 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺))
7 ffn 6185 . . . 4 (𝐹:𝐼⟶(Base‘𝐺) → 𝐹 Fn 𝐼)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐼)
9 dprdf11.4 . . . . 5 (𝜑𝐻𝑊)
101, 2, 3, 9, 5dprdff 18618 . . . 4 (𝜑𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺))
11 ffn 6185 . . . 4 (𝐻:𝐼⟶(Base‘𝐺) → 𝐻 Fn 𝐼)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐻 Fn 𝐼)
13 eqfnfv 6454 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐼𝐻 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
148, 12, 13syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (𝐹 = 𝐻 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
15 eldprdi.0 . . . 4 0 = (0g𝐺)
16 eqid 2770 . . . . . 6 (-g𝐺) = (-g𝐺)
1715, 1, 2, 3, 4, 9, 16dprdfsub 18627 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) ∈ 𝑊 ∧ (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻))))
1817simpld 476 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) ∈ 𝑊)
1915, 1, 2, 3, 18dprdfeq0 18628 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = 0 ↔ (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼0 )))
2017simprd 477 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = ((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)))
2120eqeq1d 2772 . . 3 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻)) = 0 ↔ ((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ))
222, 3dprddomcld 18607 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ V)
23 fvexd 6344 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ V)
24 fvexd 6344 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ V)
256feqmptd 6391 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
2610feqmptd 6391 . . . . . 6 (𝜑𝐻 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐻𝑥)))
2722, 23, 24, 25, 26offval2 7060 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))))
2827eqeq1d 2772 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼0 ) ↔ (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 )))
29 ovex 6822 . . . . . . 7 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) ∈ V
3029rgenw 3072 . . . . . 6 𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) ∈ V
31 mpteqb 6441 . . . . . 6 (∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ))
3230, 31ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 )
33 dprdgrp 18611 . . . . . . . . 9 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
342, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3534adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 ∈ Grp)
366ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
3710ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ (Base‘𝐺))
385, 15, 16grpsubeq0 17708 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐻𝑥) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1475 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ↔ (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4039ralbidva 3133 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4132, 40syl5bb 272 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)(-g𝐺)(𝐻𝑥))) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4228, 41bitrd 268 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑓 (-g𝐺)𝐻) = (𝑥𝐼0 ) ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
4319, 21, 423bitr3d 298 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐹𝑥) = (𝐻𝑥)))
445dprdssv 18622 . . . 4 (𝐺 DProd 𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
4515, 1, 2, 3, 4eldprdi 18624 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4644, 45sseldi 3748 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺))
4715, 1, 2, 3, 9eldprdi 18624 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (𝐺 DProd 𝑆))
4844, 47sseldi 3748 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺))
495, 15, 16grpsubeq0 17708 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 Σg 𝐹) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 Σg 𝐻) ∈ (Base‘𝐺)) → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
5034, 46, 48, 49syl3anc 1475 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg 𝐹)(-g𝐺)(𝐺 Σg 𝐻)) = 0 ↔ (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻)))
5114, 43, 503bitr2rd 297 1 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg 𝐻) ↔ 𝐹 = 𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  {crab 3064  Vcvv 3349   class class class wbr 4784  cmpt 4861  dom cdm 5249   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑓 cof 7041  Xcixp 8061   finSupp cfsupp 8430  Basecbs 16063  0gc0g 16307   Σg cgsu 16308  Grpcgrp 17629  -gcsg 17631   DProd cdprd 18599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-tpos 7503  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-ghm 17865  df-gim 17908  df-cntz 17956  df-oppg 17982  df-cmn 18401  df-dprd 18601
This theorem is referenced by:  dmdprdsplitlem  18643  dpjeq  18665
  Copyright terms: Public domain W3C validator