MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprddomcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprddomcld 18446
Description: If a family of subgroups is a family of subgroups for an internal direct product, then it is indexed by a set. (Contributed by AV, 13-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dprddomcld.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprddomcld.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dprddomcld (𝜑𝐼 ∈ V)

Proof of Theorem dprddomcld
StepHypRef Expression
1 dprddomcld.2 . 2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
2 dprddomcld.1 . 2 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
3 df-nel 2927 . . . . 5 (dom 𝑆 ∉ V ↔ ¬ dom 𝑆 ∈ V)
4 dprddomprc 18445 . . . . 5 (dom 𝑆 ∉ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
53, 4sylbir 225 . . . 4 (¬ dom 𝑆 ∈ V → ¬ 𝐺dom DProd 𝑆)
65con4i 113 . . 3 (𝐺dom DProd 𝑆 → dom 𝑆 ∈ V)
7 eleq1 2718 . . 3 (dom 𝑆 = 𝐼 → (dom 𝑆 ∈ V ↔ 𝐼 ∈ V))
86, 7syl5ib 234 . 2 (dom 𝑆 = 𝐼 → (𝐺dom DProd 𝑆𝐼 ∈ V))
91, 2, 8sylc 65 1 (𝜑𝐼 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wnel 2926  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  dom cdm 5143   DProd cdprd 18438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-dm 5153  df-rn 5154  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-dprd 18440
This theorem is referenced by:  dprdcntz  18453  dprddisj  18454  dprdw  18455  dprdwd  18456  dprdfid  18462  dprdfinv  18464  dprdfadd  18465  dprdfsub  18466  dprdfeq0  18467  dprdf11  18468  dprdlub  18471  dprdres  18473  dprdss  18474  dprdf1o  18477  dmdprdsplitlem  18482  dprddisj2  18484  dmdprdsplit2  18491  dpjfval  18500  dpjidcl  18503
  Copyright terms: Public domain W3C validator