MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdcntz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdcntz2 18608
Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c (𝜑𝐶𝐼)
dprdcntz2.d (𝜑𝐷𝐼)
dprdcntz2.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdcntz2.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdcntz2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))

Proof of Theorem dprdcntz2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdcntz2.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdcntz2.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dprdcntz2.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐼)
41, 2, 3dprdres 18598 . . 3 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
54simpld 477 . 2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
6 dmres 5565 . . 3 dom (𝑆𝐶) = (𝐶 ∩ dom 𝑆)
73, 2sseqtr4d 3771 . . . 4 (𝜑𝐶 ⊆ dom 𝑆)
8 df-ss 3717 . . . 4 (𝐶 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
97, 8sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
106, 9syl5eq 2794 . 2 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
11 dprdgrp 18575 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
121, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
13 eqid 2748 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1413dprdssv 18586 . . 3 (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
15 dprdcntz2.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1613, 15cntzsubg 17940 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1712, 14, 16sylancl 697 . 2 (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18 fvres 6356 . . . 4 (𝑥𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
1918adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
20 dprdcntz2.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐼)
211, 2, 20dprdres 18598 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
2221simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
2322adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
24 dprdsubg 18594 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
263sselda 3732 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐼)
271, 2dprdf2 18577 . . . . . 6 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2827ffvelrnda 6510 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2926, 28syldan 488 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 dmres 5565 . . . . . . 7 dom (𝑆𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝑆)
3120, 2sseqtr4d 3771 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ⊆ dom 𝑆)
32 df-ss 3717 . . . . . . . 8 (𝐷 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
3331, 32sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
3430, 33syl5eq 2794 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
3534adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
3612adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
3713subgss 17767 . . . . . . 7 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
3829, 37syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
3913, 15cntzsubg 17940 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝑥) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4036, 38, 39syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑍‘(𝑆𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
41 fvres 6356 . . . . . . 7 (𝑦𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
4241adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
431ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐺dom DProd 𝑆)
442ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → dom 𝑆 = 𝐼)
4520adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷𝐼)
4645sselda 3732 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐼)
4726adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑥𝐼)
48 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
49 noel 4050 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑥 ∈ ∅
50 elin 3927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
51 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
5251eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
5350, 52syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝑥𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
5449, 53mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
55 imnan 437 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶 → ¬ 𝑥𝐷) ↔ ¬ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
5654, 55sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 → ¬ 𝑥𝐷))
5756imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ¬ 𝑥𝐷)
5857adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ¬ 𝑥𝐷)
59 nelne2 3017 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐷 ∧ ¬ 𝑥𝐷) → 𝑦𝑥)
6048, 58, 59syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝑥)
6143, 44, 46, 47, 60, 15dprdcntz 18578 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑥)))
6242, 61eqsstrd 3768 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑥)))
6323, 35, 40, 62dprdlub 18596 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑥)))
6415, 25, 29, 63cntzrecd 18262 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
6519, 64eqsstrd 3768 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
665, 10, 17, 65dprdlub 18596 1 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  cin 3702  wss 3703  c0 4046   class class class wbr 4792  dom cdm 5254  cres 5256  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  Grpcgrp 17594  SubGrpcsubg 17760  Cntzccntz 17919   DProd cdprd 18563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-gim 17873  df-cntz 17921  df-oppg 17947  df-cmn 18366  df-dprd 18565
This theorem is referenced by:  dprd2da  18612  dmdprdsplit  18617  ablfac1eulem  18642  ablfac1eu  18643
  Copyright terms: Public domain W3C validator