Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdcntz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdcntz2 18608
 Description: The function 𝑆 is a family of subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dprdcntz2.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dprdcntz2.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dprdcntz2.c (𝜑𝐶𝐼)
dprdcntz2.d (𝜑𝐷𝐼)
dprdcntz2.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
dprdcntz2.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdcntz2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))

Proof of Theorem dprdcntz2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dprdcntz2.1 . . . 4 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dprdcntz2.2 . . . 4 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dprdcntz2.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐼)
41, 2, 3dprdres 18598 . . 3 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐶) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
54simpld 477 . 2 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐶))
6 dmres 5565 . . 3 dom (𝑆𝐶) = (𝐶 ∩ dom 𝑆)
73, 2sseqtr4d 3771 . . . 4 (𝜑𝐶 ⊆ dom 𝑆)
8 df-ss 3717 . . . 4 (𝐶 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
97, 8sylib 208 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∩ dom 𝑆) = 𝐶)
106, 9syl5eq 2794 . 2 (𝜑 → dom (𝑆𝐶) = 𝐶)
11 dprdgrp 18575 . . . 4 (𝐺dom DProd 𝑆𝐺 ∈ Grp)
121, 11syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
13 eqid 2748 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1413dprdssv 18586 . . 3 (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)
15 dprdcntz2.z . . . 4 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
1613, 15cntzsubg 17940 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1712, 14, 16sylancl 697 . 2 (𝜑 → (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18 fvres 6356 . . . 4 (𝑥𝐶 → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
1918adantl 473 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) = (𝑆𝑥))
20 dprdcntz2.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐼)
211, 2, 20dprdres 18598 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) ∧ (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝐺 DProd 𝑆)))
2221simpld 477 . . . . . 6 (𝜑𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
2322adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐺dom DProd (𝑆𝐷))
24 dprdsubg 18594 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑆𝐷) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2523, 24syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
263sselda 3732 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐼)
271, 2dprdf2 18577 . . . . . 6 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
2827ffvelrnda 6510 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
2926, 28syldan 488 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 dmres 5565 . . . . . . 7 dom (𝑆𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝑆)
3120, 2sseqtr4d 3771 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 ⊆ dom 𝑆)
32 df-ss 3717 . . . . . . . 8 (𝐷 ⊆ dom 𝑆 ↔ (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
3331, 32sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷 ∩ dom 𝑆) = 𝐷)
3430, 33syl5eq 2794 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
3534adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → dom (𝑆𝐷) = 𝐷)
3612adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐺 ∈ Grp)
3713subgss 17767 . . . . . . 7 ((𝑆𝑥) ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑆𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
3829, 37syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ (Base‘𝐺))
3913, 15cntzsubg 17940 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑆𝑥) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4036, 38, 39syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑍‘(𝑆𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
41 fvres 6356 . . . . . . 7 (𝑦𝐷 → ((𝑆𝐷)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
4241adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑦) = (𝑆𝑦))
431ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐺dom DProd 𝑆)
442ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → dom 𝑆 = 𝐼)
4520adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷𝐼)
4645sselda 3732 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐼)
4726adantr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑥𝐼)
48 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
49 noel 4050 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 𝑥 ∈ ∅
50 elin 3927 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
51 dprdcntz2.i . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
5251eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
5350, 52syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐶𝑥𝐷) ↔ 𝑥 ∈ ∅))
5449, 53mtbiri 316 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ¬ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
55 imnan 437 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐶 → ¬ 𝑥𝐷) ↔ ¬ (𝑥𝐶𝑥𝐷))
5654, 55sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 → ¬ 𝑥𝐷))
5756imp 444 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ¬ 𝑥𝐷)
5857adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ¬ 𝑥𝐷)
59 nelne2 3017 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐷 ∧ ¬ 𝑥𝐷) → 𝑦𝑥)
6048, 58, 59syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝑥)
6143, 44, 46, 47, 60, 15dprdcntz 18578 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑆𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑥)))
6242, 61eqsstrd 3768 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑆𝐷)‘𝑦) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑥)))
6323, 35, 40, 62dprdlub 18596 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐺 DProd (𝑆𝐷)) ⊆ (𝑍‘(𝑆𝑥)))
6415, 25, 29, 63cntzrecd 18262 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑆𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
6519, 64eqsstrd 3768 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑆𝐶)‘𝑥) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
665, 10, 17, 65dprdlub 18596 1 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆𝐶)) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆𝐷))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920   ∩ cin 3702   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046   class class class wbr 4792  dom cdm 5254   ↾ cres 5256  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  Grpcgrp 17594  SubGrpcsubg 17760  Cntzccntz 17919   DProd cdprd 18563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-hash 13283  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-gim 17873  df-cntz 17921  df-oppg 17947  df-cmn 18366  df-dprd 18565 This theorem is referenced by:  dprd2da  18612  dmdprdsplit  18617  ablfac1eulem  18642  ablfac1eu  18643
 Copyright terms: Public domain W3C validator