Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dplti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dplti 29954
Description: Comparing a decimal expansions with the next higher integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dplti.a 𝐴 ∈ ℕ0
dplti.b 𝐵 ∈ ℝ+
dplti.c 𝐶 ∈ ℕ0
dplti.1 𝐵 < 10
dplti.2 (𝐴 + 1) = 𝐶
Assertion
Ref Expression
dplti (𝐴.𝐵) < 𝐶

Proof of Theorem dplti
StepHypRef Expression
1 dplti.a . . . 4 𝐴 ∈ ℕ0
2 dplti.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ+
3 rpre 12041 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
51, 4dpval2 29942 . . 3 (𝐴.𝐵) = (𝐴 + (𝐵 / 10))
6 dplti.1 . . . . 5 𝐵 < 10
7 10re 11717 . . . . . . . 8 10 ∈ ℝ
8 10pos 11715 . . . . . . . 8 0 < 10
97, 8pm3.2i 471 . . . . . . 7 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
10 elrp 12036 . . . . . . 7 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
119, 10mpbir 221 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
12 divlt1lt 12101 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
134, 11, 12mp2an 707 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
146, 13mpbir 221 . . . 4 (𝐵 / 10) < 1
15 0re 10240 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1615, 8gtneii 10349 . . . . . 6 10 ≠ 0
174, 7, 16redivcli 10992 . . . . 5 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
18 1re 10239 . . . . 5 1 ∈ ℝ
19 nn0ssre 11496 . . . . . 6 0 ⊆ ℝ
2019, 1sselii 3746 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ
2117, 18, 20ltadd2i 10368 . . . 4 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1))
2214, 21mpbi 220 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (𝐴 + 1)
235, 22eqbrtri 4804 . 2 (𝐴.𝐵) < (𝐴 + 1)
24 dplti.2 . 2 (𝐴 + 1) = 𝐶
2523, 24breqtri 4808 1 (𝐴.𝐵) < 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143   class class class wbr 4783  (class class class)co 6791  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   < clt 10274   / cdiv 10884  0cn0 11492  cdc 11693  +crp 12034  .cdp 29936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-dec 11694  df-rp 12035  df-dp2 29919  df-dp 29937
This theorem is referenced by:  hgt750lem  31070
  Copyright terms: Public domain W3C validator