MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dpjcntz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpjcntz 18651
Description: The two subgroups that appear in dpjval 18655 commute. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dpjfval.1 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
dpjfval.2 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
dpjlem.3 (𝜑𝑋𝐼)
dpjcntz.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
dpjcntz (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))

Proof of Theorem dpjcntz
StepHypRef Expression
1 dpjfval.1 . . 3 (𝜑𝐺dom DProd 𝑆)
2 dpjfval.2 . . 3 (𝜑 → dom 𝑆 = 𝐼)
3 dpjlem.3 . . 3 (𝜑𝑋𝐼)
41, 2, 3dpjlem 18650 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) = (𝑆𝑋))
51, 2dprdf2 18606 . . . . 5 (𝜑𝑆:𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
6 disjdif 4184 . . . . . 6 ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ({𝑋} ∩ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ∅)
8 undif2 4188 . . . . . 6 ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})) = ({𝑋} ∪ 𝐼)
93snssd 4485 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝐼)
10 ssequn1 3926 . . . . . . 7 ({𝑋} ⊆ 𝐼 ↔ ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
119, 10sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑋} ∪ 𝐼) = 𝐼)
128, 11syl5req 2807 . . . . 5 (𝜑𝐼 = ({𝑋} ∪ (𝐼 ∖ {𝑋})))
13 dpjcntz.z . . . . 5 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
14 eqid 2760 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
155, 7, 12, 13, 14dmdprdsplit 18646 . . . 4 (𝜑 → (𝐺dom DProd 𝑆 ↔ ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)})))
161, 15mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((𝐺dom DProd (𝑆 ↾ {𝑋}) ∧ 𝐺dom DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋}))) ∧ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) ∧ ((𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ∩ (𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))) = {(0g𝐺)}))
1716simp2d 1138 . 2 (𝜑 → (𝐺 DProd (𝑆 ↾ {𝑋})) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
184, 17eqsstr3d 3781 1 (𝜑 → (𝑆𝑋) ⊆ (𝑍‘(𝐺 DProd (𝑆 ↾ (𝐼 ∖ {𝑋})))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cres 5268  cfv 6049  (class class class)co 6813  0gc0g 16302  Cntzccntz 17948   DProd cdprd 18592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-gim 17902  df-cntz 17950  df-oppg 17976  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-dprd 18594
This theorem is referenced by:  dpjf  18656  dpjidcl  18657  dpjlid  18660  dpjghm  18662
  Copyright terms: Public domain W3C validator