Theorem dpfrac1OLD 29909

Description: Obsolete version of dpfrac1 29908 as of 9-Sep-2021. (Contributed by David A. Wheeler, 15-May-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dpfrac1OLD	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / 10))

Proof of Theorem dpfrac1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfdp2OLD 29888	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2		dpval 29906	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = _𝐴𝐵)
3		nn0cn 11494	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℂ)
4		recn 10218	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5		dfdecOLD 11687	. . . . 5 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((10 · 𝐴) + 𝐵)
6	5	oveq1i 6823	. . . 4 ⊢ (;𝐴𝐵 / 10) = (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10)
7		10reOLD 11301	. . . . . . . 8 ⊢ 10 ∈ ℝ
8	7	recni 10244	. . . . . . 7 ⊢ 10 ∈ ℂ
9		mulcl 10212	. . . . . . 7 ⊢ ((10 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (10 · 𝐴) ∈ ℂ)
10	8, 9	mpan 708	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (10 · 𝐴) ∈ ℂ)
11		10posOLD 11315	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 10
12	7, 11	gt0ne0ii 10756	. . . . . . . 8 ⊢ 10 ≠ 0
13	8, 12	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
14		divdir 10902	. . . . . . 7 ⊢ (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
15	13, 14	mp3an3 1562	. . . . . 6 ⊢ (((10 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
16	10, 15	sylan 489	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)))
17		divcan3 10903	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
18	8, 12, 17	mp3an23 1565	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((10 · 𝐴) / 10) = 𝐴)
19	18	oveq1d 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
20	19	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) / 10) + (𝐵 / 10)) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
21	16, 20	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((10 · 𝐴) + 𝐵) / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
22	6, 21	syl5eq 2806	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (;𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
23	3, 4, 22	syl2an 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (;𝐴𝐵 / 10) = (𝐴 + (𝐵 / 10)))
24	1, 2, 23	3eqtr4a 2820	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = (;𝐴𝐵 / 10))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131   · cmul 10133   / cdiv 10876  10c10 11270  ℕ₀cn0 11484  ;cdc 11685  _cdp2 29886  .cdp 29904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-10OLD 11279  df-n0 11485  df-dec 11686  df-dp2 29887  df-dp 29905

This theorem is referenced by: (None)