Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpadd3 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Addition with two decimals. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpmul.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpmul.b 𝐵 ∈ ℕ0
dpmul.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpmul.d 𝐷 ∈ ℕ0
dpmul.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpmul.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpadd3.f 𝐹 ∈ ℕ0
dpadd3.h 𝐻 ∈ ℕ0
dpadd3.i 𝐼 ∈ ℕ0
dpadd3.1 (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹) = 𝐺𝐻𝐼
Assertion
Ref Expression
dpadd3 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)

Proof of Theorem dpadd3
StepHypRef Expression
1 dpmul.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
2 dpmul.b . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℕ0
32nn0rei 11505 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ
4 dpmul.c . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℕ0
54nn0rei 11505 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℝ
6 dp2cl 29927 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵𝐶 ∈ ℝ)
73, 5, 6mp2an 672 . . . . . 6 𝐵𝐶 ∈ ℝ
8 dpcl 29938 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℝ)
91, 7, 8mp2an 672 . . . . 5 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℝ
109recni 10254 . . . 4 (𝐴.𝐵𝐶) ∈ ℂ
11 dpmul.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
12 dpmul.e . . . . . . . 8 𝐸 ∈ ℕ0
1312nn0rei 11505 . . . . . . 7 𝐸 ∈ ℝ
14 dpadd3.f . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℕ0
1514nn0rei 11505 . . . . . . 7 𝐹 ∈ ℝ
16 dp2cl 29927 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → 𝐸𝐹 ∈ ℝ)
1713, 15, 16mp2an 672 . . . . . 6 𝐸𝐹 ∈ ℝ
18 dpcl 29938 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℕ0𝐸𝐹 ∈ ℝ) → (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℝ)
1911, 17, 18mp2an 672 . . . . 5 (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℝ
2019recni 10254 . . . 4 (𝐷.𝐸𝐹) ∈ ℂ
2110, 20addcli 10246 . . 3 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ
22 dpmul.g . . . . 5 𝐺 ∈ ℕ0
23 dpadd3.h . . . . . . 7 𝐻 ∈ ℕ0
2423nn0rei 11505 . . . . . 6 𝐻 ∈ ℝ
25 dpadd3.i . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℕ0
2625nn0rei 11505 . . . . . 6 𝐼 ∈ ℝ
27 dp2cl 29927 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℝ) → 𝐻𝐼 ∈ ℝ)
2824, 26, 27mp2an 672 . . . . 5 𝐻𝐼 ∈ ℝ
29 dpcl 29938 . . . . 5 ((𝐺 ∈ ℕ0𝐻𝐼 ∈ ℝ) → (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℝ)
3022, 28, 29mp2an 672 . . . 4 (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℝ
3130recni 10254 . . 3 (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ
32 10nn 11716 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
3332decnncl2 11727 . . . . 5 100 ∈ ℕ
3433nncni 11232 . . . 4 100 ∈ ℂ
3533nnne0i 11257 . . . 4 100 ≠ 0
3634, 35pm3.2i 447 . . 3 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
3721, 31, 363pm3.2i 1423 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0))
3810, 20, 34adddiri 10253 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100))
39 dpadd3.1 . . . 4 (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹) = 𝐺𝐻𝐼
401, 2, 5dpmul100 29945 . . . . 5 ((𝐴.𝐵𝐶) · 100) = 𝐴𝐵𝐶
4111, 12, 15dpmul100 29945 . . . . 5 ((𝐷.𝐸𝐹) · 100) = 𝐷𝐸𝐹
4240, 41oveq12i 6805 . . . 4 (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100)) = (𝐴𝐵𝐶 + 𝐷𝐸𝐹)
4322, 23, 26dpmul100 29945 . . . 4 ((𝐺.𝐻𝐼) · 100) = 𝐺𝐻𝐼
4439, 42, 433eqtr4i 2803 . . 3 (((𝐴.𝐵𝐶) · 100) + ((𝐷.𝐸𝐹) · 100)) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)
4538, 44eqtri 2793 . 2 (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)
46 mulcan2 10867 . . 3 ((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100) ↔ ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)))
4746biimpa 462 . 2 (((((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) ∈ ℂ ∧ (𝐺.𝐻𝐼) ∈ ℂ ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) ∧ (((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) · 100) = ((𝐺.𝐻𝐼) · 100)) → ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼))
4837, 45, 47mp2an 672 1 ((𝐴.𝐵𝐶) + (𝐷.𝐸𝐹)) = (𝐺.𝐻𝐼)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  ℕ0cn0 11494  ;cdc 11695  _cdp2 29917  .cdp 29935 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-dec 11696  df-dp2 29918  df-dp 29936 This theorem is referenced by:  1mhdrd  29964  hgt750lem2  31070
 Copyright terms: Public domain W3C validator