Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dpadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dpadd2 29959
Description: Addition with one decimal, no carry. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dpadd2.a 𝐴 ∈ ℕ0
dpadd2.b 𝐵 ∈ ℝ+
dpadd2.c 𝐶 ∈ ℕ0
dpadd2.d 𝐷 ∈ ℝ+
dpadd2.e 𝐸 ∈ ℕ0
dpadd2.f 𝐹 ∈ ℝ+
dpadd2.g 𝐺 ∈ ℕ0
dpadd2.h 𝐻 ∈ ℕ0
dpadd2.i (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
dpadd2.1 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
Assertion
Ref Expression
dpadd2 ((𝐺.𝐴𝐵) + (𝐻.𝐶𝐷)) = (𝐼.𝐸𝐹)

Proof of Theorem dpadd2
StepHypRef Expression
1 dpadd2.g . . . 4 𝐺 ∈ ℕ0
2 dpadd2.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
32nn0rei 11503 . . . . 5 𝐴 ∈ ℝ
4 dpadd2.b . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ+
5 rpre 12041 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝐵 ∈ ℝ
7 dp2cl 29928 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴𝐵 ∈ ℝ)
83, 6, 7mp2an 707 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℝ
91, 8dpval2 29942 . . 3 (𝐺.𝐴𝐵) = (𝐺 + (𝐴𝐵 / 10))
10 dpadd2.h . . . 4 𝐻 ∈ ℕ0
11 dpadd2.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
1211nn0rei 11503 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
13 dpadd2.d . . . . . 6 𝐷 ∈ ℝ+
14 rpre 12041 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
16 dp2cl 29928 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → 𝐶𝐷 ∈ ℝ)
1712, 15, 16mp2an 707 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℝ
1810, 17dpval2 29942 . . 3 (𝐻.𝐶𝐷) = (𝐻 + (𝐶𝐷 / 10))
199, 18oveq12i 6803 . 2 ((𝐺.𝐴𝐵) + (𝐻.𝐶𝐷)) = ((𝐺 + (𝐴𝐵 / 10)) + (𝐻 + (𝐶𝐷 / 10)))
201nn0cni 11504 . . 3 𝐺 ∈ ℂ
218recni 10252 . . . 4 𝐴𝐵 ∈ ℂ
22 10nn 11714 . . . . 5 10 ∈ ℕ
2322nncni 11230 . . . 4 10 ∈ ℂ
2422nnne0i 11255 . . . 4 10 ≠ 0
2521, 23, 24divcli 10967 . . 3 (𝐴𝐵 / 10) ∈ ℂ
2610nn0cni 11504 . . 3 𝐻 ∈ ℂ
2717recni 10252 . . . 4 𝐶𝐷 ∈ ℂ
2827, 23, 24divcli 10967 . . 3 (𝐶𝐷 / 10) ∈ ℂ
2920, 25, 26, 28add4i 10460 . 2 ((𝐺 + (𝐴𝐵 / 10)) + (𝐻 + (𝐶𝐷 / 10))) = ((𝐺 + 𝐻) + ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)))
30 dpadd2.i . . . 4 (𝐺 + 𝐻) = 𝐼
3121, 27, 23, 24divdiri 10982 . . . . 5 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))
32 dpadd2.1 . . . . . . 7 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐸.𝐹)
33 dpval 29938 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵)
342, 6, 33mp2an 707 . . . . . . . 8 (𝐴.𝐵) = 𝐴𝐵
35 dpval 29938 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℕ0𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷)
3611, 15, 35mp2an 707 . . . . . . . 8 (𝐶.𝐷) = 𝐶𝐷
3734, 36oveq12i 6803 . . . . . . 7 ((𝐴.𝐵) + (𝐶.𝐷)) = (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷)
38 dpadd2.e . . . . . . . 8 𝐸 ∈ ℕ0
39 dpadd2.f . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℝ+
40 rpre 12041 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐹 ∈ ℝ
42 dpval 29938 . . . . . . . 8 ((𝐸 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℝ) → (𝐸.𝐹) = 𝐸𝐹)
4338, 41, 42mp2an 707 . . . . . . 7 (𝐸.𝐹) = 𝐸𝐹
4432, 37, 433eqtr3i 2799 . . . . . 6 (𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) = 𝐸𝐹
4544oveq1i 6801 . . . . 5 ((𝐴𝐵 + 𝐶𝐷) / 10) = (𝐸𝐹 / 10)
4631, 45eqtr3i 2793 . . . 4 ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10)) = (𝐸𝐹 / 10)
4730, 46oveq12i 6803 . . 3 ((𝐺 + 𝐻) + ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))) = (𝐼 + (𝐸𝐹 / 10))
481, 10nn0addcli 11530 . . . . 5 (𝐺 + 𝐻) ∈ ℕ0
4930, 48eqeltrri 2845 . . . 4 𝐼 ∈ ℕ0
5038nn0rei 11503 . . . . 5 𝐸 ∈ ℝ
51 dp2cl 29928 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → 𝐸𝐹 ∈ ℝ)
5250, 41, 51mp2an 707 . . . 4 𝐸𝐹 ∈ ℝ
5349, 52dpval2 29942 . . 3 (𝐼.𝐸𝐹) = (𝐼 + (𝐸𝐹 / 10))
5447, 53eqtr4i 2794 . 2 ((𝐺 + 𝐻) + ((𝐴𝐵 / 10) + (𝐶𝐷 / 10))) = (𝐼.𝐸𝐹)
5519, 29, 543eqtri 2795 1 ((𝐺.𝐴𝐵) + (𝐻.𝐶𝐷)) = (𝐼.𝐸𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1629  wcel 2143  (class class class)co 6791  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   / cdiv 10884  0cn0 11492  cdc 11693  +crp 12034  cdp2 29918  .cdp 29936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-dec 11694  df-rp 12035  df-dp2 29919  df-dp 29937
This theorem is referenced by:  hgt750lemd  31067
  Copyright terms: Public domain W3C validator