Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dp2lt10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dp2lt10 29925
 Description: Decimal fraction builds real numbers less than 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dp2lt10.a 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt10.b 𝐵 ∈ ℝ+
dp2lt10.1 𝐴 < 10
dp2lt10.2 𝐵 < 10
Assertion
Ref Expression
dp2lt10 𝐴𝐵 < 10

Proof of Theorem dp2lt10
StepHypRef Expression
1 df-dp2 29912 . 2 𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / 10))
2 dp2lt10.1 . . . . . 6 𝐴 < 10
3 9p1e10 11697 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
42, 3breqtrri 4811 . . . . 5 𝐴 < (9 + 1)
5 dp2lt10.a . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℕ0
65nn0zi 11603 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℤ
7 9nn0 11517 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
87nn0zi 11603 . . . . . 6 9 ∈ ℤ
9 zleltp1 11629 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
106, 8, 9mp2an 664 . . . . 5 (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
114, 10mpbir 221 . . . 4 𝐴 ≤ 9
12 dp2lt10.2 . . . . 5 𝐵 < 10
13 rpssre 12045 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
14 dp2lt10.b . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℝ+
1513, 14sselii 3747 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
16 10re 11718 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
17 10pos 11716 . . . . . . 7 0 < 10
1816, 17elrpii 12037 . . . . . 6 10 ∈ ℝ+
19 divlt1lt 12101 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 10 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10))
2015, 18, 19mp2an 664 . . . . 5 ((𝐵 / 10) < 1 ↔ 𝐵 < 10)
2112, 20mpbir 221 . . . 4 (𝐵 / 10) < 1
225nn0rei 11504 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
23 0re 10241 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2423, 17gtneii 10350 . . . . . . 7 10 ≠ 0
2515, 16, 24redivcli 10993 . . . . . 6 (𝐵 / 10) ∈ ℝ
2622, 25pm3.2i 447 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ)
27 9re 11308 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
28 1re 10240 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2927, 28pm3.2i 447 . . . . 5 (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)
30 leltadd 10713 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / 10) ∈ ℝ) ∧ (9 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)))
3126, 29, 30mp2an 664 . . . 4 ((𝐴 ≤ 9 ∧ (𝐵 / 10) < 1) → (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1))
3211, 21, 31mp2an 664 . . 3 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < (9 + 1)
3332, 3breqtri 4809 . 2 (𝐴 + (𝐵 / 10)) < 10
341, 33eqbrtri 4805 1 𝐴𝐵 < 10
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784  (class class class)co 6792  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   < clt 10275   ≤ cle 10276   / cdiv 10885  9c9 11278  ℕ0cn0 11493  ℤcz 11578  ;cdc 11694  ℝ+crp 12034  _cdp2 29911 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-rp 12035  df-dp2 29912 This theorem is referenced by:  hgt750lem  31063  hgt750lem2  31064
 Copyright terms: Public domain W3C validator