MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domtriord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domtriord 8267
Description: Dominance is trichotomous in the restricted case of ordinal numbers. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Oct-2009.)
Assertion
Ref Expression
domtriord ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))

Proof of Theorem domtriord
StepHypRef Expression
1 sbth 8241 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
21expcom 450 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
32a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → (𝐵𝐴𝐵𝐴)))
4 iman 439 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵𝐴) ↔ ¬ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
5 brsdom 8140 . . . 4 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
64, 5xchbinxr 324 . . 3 ((𝐵𝐴𝐵𝐴) ↔ ¬ 𝐵𝐴)
73, 6syl6ib 241 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
8 onelss 5923 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
9 ssdomg 8163 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
108, 9syld 47 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ On → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1110adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
1211con3d 148 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
13 ontri1 5914 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1413ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
1512, 14sylibrd 249 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
16 ssdomg 8163 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1716adantr 472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
1815, 17syld 47 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
19 ensym 8166 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
20 endom 8144 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴𝐵)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝐵𝐴𝐴𝐵)
2221con3i 150 . . . . . 6 𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴)
2322a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → ¬ 𝐵𝐴))
2418, 23jcad 556 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵 → (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)))
2524, 5syl6ibr 242 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐴𝐵𝐵𝐴))
2625con1d 139 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (¬ 𝐵𝐴𝐴𝐵))
277, 26impbid 202 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2135  wss 3711   class class class wbr 4800  Oncon0 5880  cen 8114  cdom 8115  csdm 8116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-br 4801  df-opab 4861  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-ord 5883  df-on 5884  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120
This theorem is referenced by:  sdomel  8268  cardsdomel  8986  alephord  9084  alephsucdom  9088  alephdom2  9096
  Copyright terms: Public domain W3C validator