Theorem domtr 8050

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8003	. 2 ⊢ Rel ≼
2		vex 3234	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	brdom 8009	. . 3 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦)
4		vex 3234	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
5	4	brdom 8009	. . 3 ⊢ (𝑦 ≼ 𝑧 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧)
6		eeanv 2218	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) ↔ (∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧))
7		f1co 6148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑦–1-1→𝑧 ∧ 𝑔:𝑥–1-1→𝑦) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
8	7	ancoms 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧)
9		vex 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑓 ∈ V
10		vex 3234	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑔 ∈ V
11	9, 10	coex 7160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∘ 𝑔) ∈ V
12		f1eq1 6134	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝑓 ∘ 𝑔) → (ℎ:𝑥–1-1→𝑧 ↔ (𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧))
13	11, 12	spcev 3331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∘ 𝑔):𝑥–1-1→𝑧 → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
14	8, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
15	4	brdom 8009	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑧 ↔ ∃ℎ ℎ:𝑥–1-1→𝑧)
16	14, 15	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ ((𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
17	16	exlimivv 1900	. . . 4 ⊢ (∃𝑔∃𝑓(𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
18	6, 17	sylbir 225	. . 3 ⊢ ((∃𝑔 𝑔:𝑥–1-1→𝑦 ∧ ∃𝑓 𝑓:𝑦–1-1→𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
19	3, 5, 18	syl2anb 495	. 2 ⊢ ((𝑥 ≼ 𝑦 ∧ 𝑦 ≼ 𝑧) → 𝑥 ≼ 𝑧)
20	1, 19	vtoclr 5198	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383  ∃wex 1744   class class class wbr 4685   ∘ ccom 5147  –1-1→wf1 5923   ≼ cdom 7995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-dom 7999

This theorem is referenced by:  endomtr  8055  domentr  8056  cnvct  8074  ssct  8082  undom  8089  sdomdomtr  8134  domsdomtr  8136  xpen  8164  unxpdom2  8209  sucxpdom  8210  fidomdm  8284  hartogs  8490  harword  8511  unxpwdom  8535  harcard  8842  infxpenlem  8874  xpct  8877  indcardi  8902  fodomfi2  8921  infpwfien  8923  inffien  8924  cdadom3  9048  cdainf  9052  infcda1  9053  cdalepw  9056  unctb  9065  infcdaabs  9066  infcda  9068  infdif  9069  infdif2  9070  infxp  9075  infmap2  9078  fictb  9105  cfslb2n  9128  isfin32i  9225  fin1a2lem12  9271  hsmexlem1  9286  dmct  9384  brdom3  9388  brdom5  9389  brdom4  9390  imadomg  9394  fimact  9395  fnct  9397  mptct  9398  iundomg  9401  uniimadom  9404  ondomon  9423  unirnfdomd  9427  alephval2  9432  iunctb  9434  alephexp1  9439  alephreg  9442  cfpwsdom  9444  gchdomtri  9489  canthnum  9509  canthp1lem1  9512  canthp1  9514  pwfseqlem5  9523  pwxpndom2  9525  pwxpndom  9526  pwcdandom  9527  gchcdaidm  9528  gchxpidm  9529  gchpwdom  9530  gchaclem  9538  gchhar  9539  inar1  9635  rankcf  9637  grudomon  9677  grothac  9690  rpnnen  15000  cctop  20858  1stcfb  21296  2ndcredom  21301  2ndc1stc  21302  1stcrestlem  21303  2ndcctbss  21306  2ndcdisj2  21308  2ndcomap  21309  2ndcsep  21310  dis2ndc  21311  hauspwdom  21352  tx1stc  21501  tx2ndc  21502  met2ndci  22374  opnreen  22681  rectbntr0  22682  uniiccdif  23392  dyadmbl  23414  opnmblALT  23417  mbfimaopnlem  23467  abrexdomjm  29471  mptctf  29623  locfinreflem  30035  sigaclci  30323  omsmeas  30513  sibfof  30530  abrexdom  33655  heiborlem3  33742  ttac  37920  idomsubgmo  38093  uzct  39546  omeiunle  41052  smfaddlem2  41293  smflimlem6  41305  smfmullem4  41322  smfpimbor1lem1  41326