MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domsdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domsdomtr 8250
Description: Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
domsdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domsdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 8136 . . 3 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 domtr 8161 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 572 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simpr 471 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
5 ensym 8157 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
6 simpl 468 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐵)
7 endomtr 8166 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
85, 6, 7syl2anr 576 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝐵)
9 domnsym 8241 . . . . 5 (𝐶𝐵 → ¬ 𝐵𝐶)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐵𝐶)
1110ex 397 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐵𝐶))
124, 11mt2d 133 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
13 brsdom 8131 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
143, 12, 13sylanbrc 564 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   class class class wbr 4784  cen 8105  cdom 8106  csdm 8107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111
This theorem is referenced by:  ensdomtr  8251  sdomtr  8253  2pwuninel  8270  card2on  8614  tskwe  8975  harval2  9022  prdom2  9028  infxpenlem  9035  alephsucdom  9101  pwsdompw  9227  infunsdom1  9236  fin34  9413  ondomon  9586  cardmin  9587  konigthlem  9591  gchpwdom  9693  gchina  9722  inar1  9798  tskord  9803  tskuni  9806  tskurn  9812  csdfil  21917
  Copyright terms: Public domain W3C validator