MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domsdomtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domsdomtr 8092
Description: Transitivity of dominance and strict dominance. Theorem 22(ii) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
domsdomtr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem domsdomtr
StepHypRef Expression
1 sdomdom 7980 . . 3 (𝐵𝐶𝐵𝐶)
2 domtr 8006 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
31, 2sylan2 491 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
4 simpr 477 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐵𝐶)
5 ensym 8002 . . . . . 6 (𝐴𝐶𝐶𝐴)
6 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐵)
7 endomtr 8011 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
85, 6, 7syl2anr 495 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → 𝐶𝐵)
9 domnsym 8083 . . . . 5 (𝐶𝐵 → ¬ 𝐵𝐶)
108, 9syl 17 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ 𝐴𝐶) → ¬ 𝐵𝐶)
1110ex 450 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (𝐴𝐶 → ¬ 𝐵𝐶))
124, 11mt2d 131 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → ¬ 𝐴𝐶)
13 brsdom 7975 . 2 (𝐴𝐶 ↔ (𝐴𝐶 ∧ ¬ 𝐴𝐶))
143, 12, 13sylanbrc 698 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   class class class wbr 4651  cen 7949  cdom 7950  csdm 7951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ral 2916  df-rex 2917  df-rab 2920  df-v 3200  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955
This theorem is referenced by:  ensdomtr  8093  sdomtr  8095  2pwuninel  8112  card2on  8456  tskwe  8773  harval2  8820  prdom2  8826  infxpenlem  8833  alephsucdom  8899  pwsdompw  9023  infunsdom1  9032  fin34  9209  ondomon  9382  cardmin  9383  konigthlem  9387  gchpwdom  9489  gchina  9518  inar1  9594  tskord  9599  tskuni  9602  tskurn  9608  csdfil  21692
  Copyright terms: Public domain W3C validator