Theorem domnsym 8251

Description: Theorem 22(i) of [Suppes] p. 97. (Contributed by NM, 10-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domnsym	⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Proof of Theorem domnsym

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 8151	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ (𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵))
2		sdomnsym 8250	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
3		sdomnen 8150	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
4		ensym 8170	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
5	3, 4	nsyl3 133	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
6	2, 5	jaoi 393	. 2 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝐵 ∨ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)
7	1, 6	sylbi 207	1 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ¬ 𝐵 ≺ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   class class class wbr 4804   ≈ cen 8118   ≼ cdom 8119   ≺ csdm 8120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124

This theorem is referenced by:  sdom0  8257  sdomdomtr  8258  domsdomtr  8260  sdomdif  8273  onsdominel  8274  nndomo  8319  sdom1  8325  fofinf1o  8406  carddom2  8993  fidomtri  9009  fidomtri2  9010  infxpenlem  9026  alephordi  9087  infdif  9223  infdif2  9224  cfslbn  9281  cfslb2n  9282  fincssdom  9337  fin45  9406  domtriom  9457  alephval2  9586  alephreg  9596  pwcfsdom  9597  cfpwsdom  9598  pwfseqlem3  9674  gchpwdom  9684  gchaleph  9685  hargch  9687  gchhar  9693  winainflem  9707  rankcf  9791  tskcard  9795  vdwlem12  15898  odinf  18180  rectbntr0  22836  erdszelem10  31489  finminlem  32618  fphpd  37882