MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dominfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dominfac 9433
Description: A nonempty set that is a subset of its union is infinite. This version is proved from ax-ac 9319. See dominf 9305 for a version proved from ax-cc 9295. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
dominfac.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
dominfac ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 𝐴) → ω ≼ 𝐴)

Proof of Theorem dominfac
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dominfac.1 . 2 𝐴 ∈ V
2 neeq1 2885 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
3 id 22 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
4 unieq 4476 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
53, 4sseq12d 3667 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 𝑥𝐴 𝐴))
62, 5anbi12d 747 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 𝐴)))
7 breq2 4689 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (ω ≼ 𝑥 ↔ ω ≼ 𝐴))
86, 7imbi12d 333 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ω ≼ 𝑥) ↔ ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 𝐴) → ω ≼ 𝐴)))
9 eqid 2651 . . . 4 (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}) = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
10 eqid 2651 . . . 4 (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω)
119, 10, 1, 1inf3lem6 8568 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω):ω–1-1→𝒫 𝑥)
12 vpwex 4879 . . . 4 𝒫 𝑥 ∈ V
1312f1dom 8019 . . 3 ((rec((𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦}), ∅) ↾ ω):ω–1-1→𝒫 𝑥 → ω ≼ 𝒫 𝑥)
14 pwfi 8302 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
1514biimpi 206 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin → 𝒫 𝑥 ∈ Fin)
16 isfinite 8587 . . . . . 6 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝑥 ≺ ω)
17 isfinite 8587 . . . . . 6 (𝒫 𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
1815, 16, 173imtr3i 280 . . . . 5 (𝑥 ≺ ω → 𝒫 𝑥 ≺ ω)
1918con3i 150 . . . 4 (¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω → ¬ 𝑥 ≺ ω)
20 omex 8578 . . . . 5 ω ∈ V
21 domtri 9416 . . . . 5 ((ω ∈ V ∧ 𝒫 𝑥 ∈ V) → (ω ≼ 𝒫 𝑥 ↔ ¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω))
2220, 12, 21mp2an 708 . . . 4 (ω ≼ 𝒫 𝑥 ↔ ¬ 𝒫 𝑥 ≺ ω)
23 vex 3234 . . . . 5 𝑥 ∈ V
24 domtri 9416 . . . . 5 ((ω ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω))
2520, 23, 24mp2an 708 . . . 4 (ω ≼ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≺ ω)
2619, 22, 253imtr4i 281 . . 3 (ω ≼ 𝒫 𝑥 → ω ≼ 𝑥)
2711, 13, 263syl 18 . 2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → ω ≼ 𝑥)
281, 8, 27vtocl 3290 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 𝐴) → ω ≼ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cres 5145  1-1wf1 5923  ωcom 7107  reccrdg 7550  cdom 7995  csdm 7996  Fincfn 7997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-reg 8538  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-ac 8977
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator