MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domfi 8336
Description: A set dominated by a finite set is finite. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
domfi ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem domfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domeng 8122 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴)))
2 ssfi 8335 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
32adantrl 687 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝑥 ∈ Fin)
4 enfii 8332 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑥) → 𝐵 ∈ Fin)
54adantrr 688 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
63, 5sylancom 568 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝑥𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
76ex 397 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐵𝑥𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
87exlimdv 2012 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (∃𝑥(𝐵𝑥𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin))
91, 8sylbid 230 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵 ∈ Fin))
109imp 393 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wex 1851  wcel 2144  wss 3721   class class class wbr 4784  cen 8105  cdom 8106  Fincfn 8108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-om 7212  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-fin 8112
This theorem is referenced by:  xpfir  8337  dmfi  8399  fofi  8407  pwfilem  8415  pwfi  8416  sdom2en01  9325  isfin1-2  9408  fin67  9418  fin1a2lem9  9431  gchcda1  9679  hashdomi  13370  symggen  18096  cmpsub  21423  ufinffr  21952  alexsubALT  22074  ovolicc2lem4  23507  aannenlem1  24302  ffsrn  29838  locfinreflem  30241  lindsenlbs  33730  harinf  38120  kelac2lem  38153  disjinfi  39894
  Copyright terms: Public domain W3C validator