Theorem domentr 8056

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 8024	. 2 ⊢ (𝐵 ≈ 𝐶 → 𝐵 ≼ 𝐶)
2		domtr 8050	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan2 490	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   class class class wbr 4685   ≈ cen 7994   ≼ cdom 7995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-f1o 5933  df-en 7998  df-dom 7999

This theorem is referenced by:  domdifsn  8084  xpdom1g  8098  domunsncan  8101  sdomdomtr  8134  domen2  8144  mapdom2  8172  php  8185  unxpdom2  8209  sucxpdom  8210  xpfir  8223  fodomfi  8280  cardsdomelir  8837  infxpenlem  8874  xpct  8877  infpwfien  8923  inffien  8924  mappwen  8973  iunfictbso  8975  cdaxpdom  9049  cdainflem  9051  cdainf  9052  cdalepw  9056  ficardun2  9063  unctb  9065  infcdaabs  9066  infunabs  9067  infcda  9068  infdif  9069  infxpdom  9071  pwcdadom  9076  infmap2  9078  fictb  9105  cfslb  9126  fin1a2lem11  9270  fnct  9397  unirnfdomd  9427  iunctb  9434  alephreg  9442  cfpwsdom  9444  gchdomtri  9489  canthp1lem1  9512  pwfseqlem5  9523  pwxpndom  9526  gchcdaidm  9528  gchxpidm  9529  gchpwdom  9530  gchhar  9539  inttsk  9634  inar1  9635  tskcard  9641  znnen  14985  qnnen  14986  rpnnen  15000  rexpen  15001  aleph1irr  15019  cygctb  18339  1stcfb  21296  2ndcredom  21301  2ndcctbss  21306  hauspwdom  21352  tx1stc  21501  tx2ndc  21502  met1stc  22373  met2ndci  22374  re2ndc  22651  opnreen  22681  ovolctb2  23306  ovolfi  23308  uniiccdif  23392  dyadmbl  23414  opnmblALT  23417  vitali  23427  mbfimaopnlem  23467  mbfsup  23476  aannenlem3  24130  dmvlsiga  30320  sigapildsys  30353  omssubadd  30490  carsgclctunlem3  30510  finminlem  32437  phpreu  33523  lindsdom  33533  mblfinlem1  33576  pellexlem4  37713  pellexlem5  37714  nnfoctb  39527  ioonct  40082  subsaliuncl  40894  caragenunicl  41059  aacllem  42875