Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochvalr3 37166
 Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr3.o = (oc‘𝐾)
dochvalr3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochvalr3.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr3.n 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochvalr3.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
Assertion
Ref Expression
dochvalr3 (𝜑 → ( ‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁𝑋)))

Proof of Theorem dochvalr3
StepHypRef Expression
1 dochvalr3.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 dochvalr3.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝐼)
3 dochvalr3.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2770 . . . . . . 7 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochvalr3.i . . . . . . 7 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2770 . . . . . . 7 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
73, 4, 5, 6dihrnss 37081 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
81, 2, 7syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9 dochvalr3.n . . . . . 6 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
103, 5, 4, 6, 9dochcl 37156 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑁𝑋) ∈ ran 𝐼)
111, 8, 10syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝑋) ∈ ran 𝐼)
123, 5dihcnvid2 37076 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁𝑋) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼‘(𝑁𝑋))) = (𝑁𝑋))
131, 11, 12syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝐼‘(𝑁𝑋))) = (𝑁𝑋))
14 dochvalr3.o . . . . 5 = (oc‘𝐾)
1514, 3, 5, 9dochvalr 37160 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁𝑋) = (𝐼‘( ‘(𝐼𝑋))))
161, 2, 15syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝑁𝑋) = (𝐼‘( ‘(𝐼𝑋))))
1713, 16eqtr2d 2805 . 2 (𝜑 → (𝐼‘( ‘(𝐼𝑋))) = (𝐼‘(𝐼‘(𝑁𝑋))))
181simpld 476 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ HL)
19 hlop 35164 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ OP)
21 eqid 2770 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2221, 3, 5dihcnvcl 37074 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
231, 2, 22syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
2421, 14opoccl 34996 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ( ‘(𝐼𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
2520, 23, 24syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐼𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
2621, 3, 5dihcnvcl 37074 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁𝑋) ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝑁𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
271, 11, 26syl2anc 565 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
2821, 3, 5dih11 37068 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( ‘(𝐼𝑋)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼‘(𝑁𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘( ‘(𝐼𝑋))) = (𝐼‘(𝐼‘(𝑁𝑋))) ↔ ( ‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁𝑋))))
291, 25, 27, 28syl3anc 1475 . 2 (𝜑 → ((𝐼‘( ‘(𝐼𝑋))) = (𝐼‘(𝐼‘(𝑁𝑋))) ↔ ( ‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁𝑋))))
3017, 29mpbid 222 1 (𝜑 → ( ‘(𝐼𝑋)) = (𝐼‘(𝑁𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3721  ◡ccnv 5248  ran crn 5250  ‘cfv 6031  Basecbs 16063  occoc 16156  OPcops 34974  HLchlt 35152  LHypclh 35785  DVecHcdvh 36881  DIsoHcdih 37031  ocHcoch 37150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-riotaBAD 34754 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-undef 7550  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961  df-tendo 36557  df-edring 36559  df-disoa 36832  df-dvech 36882  df-dib 36942  df-dic 36976  df-dih 37032  df-doch 37151 This theorem is referenced by:  dihoml4c  37179
 Copyright terms: Public domain W3C validator