Theorem dochsscl 37177

Description: If a set of vectors is included in a closed set, so is its closure. (Contributed by NM, 17-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsscl.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsscl.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsscl.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsscl.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsscl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
dochsscl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
dochsscl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌))

Proof of Theorem dochsscl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsscl.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		dochsscl.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑉)
4	3	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑉)
5		dochsscl.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		dochsscl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		dochsscl.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		dochsscl.o	. . . . . 6 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	dochssv 37164	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
10	2, 4, 9	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉)
11		dochsscl.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
12		dochsscl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13	5, 6, 12, 7	dihrnss 37087	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
14	1, 11, 13	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑉)
16		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
17	5, 6, 7, 8	dochss 37174	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
18	2, 15, 16, 17	syl3anc 1477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
19	5, 6, 7, 8	dochss 37174	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
20	2, 10, 18, 19	syl3anc 1477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
21	11	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → 𝑌 ∈ ran 𝐼)
22	5, 12, 8	dochoc 37176	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
23	2, 21, 22	syl2anc 696	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
24	20, 23	sseqtrd 3782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑌) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌)
25	5, 6, 7, 8	dochocss 37175	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
26	1, 3, 25	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)))
27		sstr 3752	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
28	26, 27	sylan 489	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑌)
29	24, 28	impbida 913	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ⊆ 𝑌 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑋)) ⊆ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ran crn 5267  ‘cfv 6049  Basecbs 16079  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  DIsoHcdih 37037  ocHcoch 37156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157

This theorem is referenced by:  hdmapoc  37743