Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochocss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochocss 37169
Description: Double negative law for orthocomplement of an arbitrary set of vectors. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochss.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochss.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochss.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochss.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dochocss (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))

Proof of Theorem dochocss
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssintub 4627 . 2 𝑋 {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}
2 dochss.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 eqid 2770 . . . . 5 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4 dochss.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochss.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 dochss.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
72, 3, 4, 5, 6dochcl 37156 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
8 eqid 2770 . . . . 5 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
98, 2, 3, 6dochvalr 37160 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ( 𝑋) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))))
107, 9syldan 571 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( ‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))))
118, 2, 3, 4, 5, 6dochval2 37155 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ( 𝑋) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))))
1211fveq2d 6336 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))))
13 eqid 2770 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
14 eqid 2770 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
1513, 2, 3, 4, 14dihf11 37070 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
1615adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈))
17 f1f1orn 6289 . . . . . . . . 9 (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
1816, 17syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
19 hlop 35164 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2019ad2antrr 697 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
21 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
22 ssrab2 3834 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
24 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2524, 2, 3, 4, 5dih1 37089 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
2625adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
27 f1fn 6242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1→(LSubSp‘𝑈) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
2816, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾))
2913, 24op1cl 34987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
3020, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
31 fnfvelrn 6499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) Fn (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3228, 30, 31syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(1.‘𝐾)) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
3326, 32eqeltrrd 2850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
34 simpr 471 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
35 sseq2 3774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑉 → (𝑋𝑧𝑋𝑉))
3635elrab 3513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ↔ (𝑉 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ 𝑋𝑉))
3733, 34, 36sylanbrc 564 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
38 ne0i 4067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∈ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)
402, 3dihintcl 37147 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ({𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ⊆ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ≠ ∅)) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
4121, 23, 39, 40syl12anc 1473 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
42 f1ocnvdm 6682 . . . . . . . . . 10 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
4318, 41, 42syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾))
4413, 8opoccl 34996 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
4520, 43, 44syl2anc 565 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾))
46 f1ocnvfv1 6674 . . . . . . . 8 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) ∈ (Base‘𝐾)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4718, 45, 46syl2anc 565 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4812, 47eqtrd 2804 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)) = ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
4948fveq2d 6336 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋))) = ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))))
5013, 8opococ 34997 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5120, 43, 50syl2anc 565 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5249, 51eqtrd 2804 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → ((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧}))
5352fveq2d 6336 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘((oc‘𝐾)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘( 𝑋)))) = (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})))
54 f1ocnvfv2 6675 . . . 4 ((((DIsoH‘𝐾)‘𝑊):(Base‘𝐾)–1-1-onto→ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∧ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
5518, 41, 54syl2anc 565 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → (((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘(((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)‘ {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})) = {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧})
5610, 53, 553eqtrrd 2809 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → {𝑧 ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) ∣ 𝑋𝑧} = ( ‘( 𝑋)))
571, 56syl5sseq 3800 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ⊆ ( ‘( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  {crab 3064  wss 3721  c0 4061   cint 4609  ccnv 5248  ran crn 5250   Fn wfn 6026  1-1wf1 6028  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  Basecbs 16063  occoc 16156  1.cp1 17245  LSubSpclss 19141  OPcops 34974  HLchlt 35152  LHypclh 35785  DVecHcdvh 36881  DIsoHcdih 37031  ocHcoch 37150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-riotaBAD 34754
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-tpos 7503  df-undef 7550  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-p1 17247  df-lat 17253  df-clat 17315  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-subg 17798  df-cntz 17956  df-lsm 18257  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-drng 18958  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-lvec 19315  df-lsatoms 34778  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153  df-llines 35299  df-lplanes 35300  df-lvols 35301  df-lines 35302  df-psubsp 35304  df-pmap 35305  df-padd 35597  df-lhyp 35789  df-laut 35790  df-ldil 35905  df-ltrn 35906  df-trl 35961  df-tendo 36557  df-edring 36559  df-disoa 36832  df-dvech 36882  df-dib 36942  df-dic 36976  df-dih 37032  df-doch 37151
This theorem is referenced by:  dochsscl  37171  dochsat  37186  dochshpncl  37187  dochlkr  37188  dochdmj1  37193  dochnoncon  37194
  Copyright terms: Public domain W3C validator