Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochkr1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochkr1 37287
Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument belonging to the orthocomplement of its kernel (when its kernel is a closed hyperplane). Tighter version of lfl1 34878. (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochkr1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochkr1.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochkr1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochkr1.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
dochkr1.z 0 = (0g𝑈)
dochkr1.i 1 = (1r𝑅)
dochkr1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochkr1.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochkr1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochkr1.g (𝜑𝐺𝐹)
dochkr1.n (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
dochkr1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 )
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥,𝑈   𝑥,   𝑥, 1
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dochkr1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
2 eqid 2760 . . . 4 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
3 dochkr1.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dochkr1.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 dochkr1.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
63, 4, 5dvhlmod 36919 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 dochkr1.n . . . . 5 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉)
8 dochkr1.o . . . . . 6 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9 dochkr1.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 dochkr1.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 dochkr1.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 dochkr1.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
133, 8, 4, 9, 2, 10, 11, 5, 12dochkrsat2 37265 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘( ‘(𝐿𝐺))) ≠ 𝑉 ↔ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈)))
147, 13mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
151, 2, 6, 14lsateln0 34803 . . 3 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))𝑧 ≠ (0g𝑈))
16 dochkr1.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
17 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
185ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1912ad2antrr 764 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → 𝐺𝐹)
20 eldifsn 4462 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ {(0g𝑈)}) ↔ (𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)))
2120biimpri 218 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ {(0g𝑈)}))
2221adantll 752 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → 𝑧 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ {(0g𝑈)}))
233, 8, 4, 9, 16, 17, 1, 10, 11, 18, 19, 22dochfln0 37286 . . . . 5 (((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑈)) → (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅))
2423ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → (𝑧 ≠ (0g𝑈) → (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)))
2524reximdva 3155 . . 3 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))𝑧 ≠ (0g𝑈) → ∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)))
2615, 25mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅))
279, 10, 11, 6, 12lkrssv 34904 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
28 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
293, 4, 9, 28, 8dochlss 37163 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
305, 27, 29syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
316, 30jca 555 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
32313ad2ant1 1128 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)))
333, 4, 5dvhlvec 36918 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
34333ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑈 ∈ LVec)
3516lvecdrng 19327 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑅 ∈ DivRing)
3763ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑈 ∈ LMod)
38123ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝐺𝐹)
393, 4, 9, 8dochssv 37164 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
405, 27, 39syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
4140sselda 3744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → 𝑧𝑉)
42413adant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧𝑉)
43 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4416, 43, 9, 10lflcl 34872 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑧𝑉) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
4537, 38, 42, 44syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
46 simp3 1133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅))
47 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (invr𝑅) = (invr𝑅)
4843, 17, 47drnginvrcl 18986 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
4936, 45, 46, 48syl3anc 1477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
50 simp2 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
5149, 50jca 555 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))))
52 eqid 2760 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
5316, 52, 43, 28lssvscl 19177 . . . . . 6 (((𝑈 ∈ LMod ∧ ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
5432, 51, 53syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
5543, 17, 47drnginvrn0 18987 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ≠ (0g𝑅))
5636, 45, 46, 55syl3anc 1477 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ≠ (0g𝑅))
576adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → 𝑈 ∈ LMod)
5812adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → 𝐺𝐹)
59 dochkr1.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑈)
6016, 17, 59, 10lfl0 34873 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺0 ) = (0g𝑅))
6157, 58, 60syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → (𝐺0 ) = (0g𝑅))
62 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 0 → (𝐺𝑧) = (𝐺0 ))
6362eqeq1d 2762 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 0 → ((𝐺𝑧) = (0g𝑅) ↔ (𝐺0 ) = (0g𝑅)))
6461, 63syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → (𝑧 = 0 → (𝐺𝑧) = (0g𝑅)))
6564necon3d 2953 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))) → ((𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅) → 𝑧0 ))
66653impia 1110 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → 𝑧0 )
679, 52, 16, 43, 17, 59, 34, 49, 42lvecvsn0 19331 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ((((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ≠ 0 ↔ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ≠ (0g𝑅) ∧ 𝑧0 )))
6856, 66, 67mpbir2and 995 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ≠ 0 )
69 eldifsn 4462 . . . . 5 ((((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ↔ ((((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ≠ 0 ))
7054, 68, 69sylanbrc 701 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
71 eqid 2760 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7216, 43, 71, 9, 52, 10lflmul 34876 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝑉)) → (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)))
7337, 38, 49, 42, 72syl112anc 1481 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)))
74 dochkr1.i . . . . . . 7 1 = (1r𝑅)
7543, 17, 71, 74, 47drnginvrl 18988 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)) = 1 )
7636, 45, 46, 75syl3anc 1477 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))(.r𝑅)(𝐺𝑧)) = 1 )
7773, 76eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = 1 )
78 fveq2 6353 . . . . . 6 (𝑥 = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)))
7978eqeq1d 2762 . . . . 5 (𝑥 = (((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) → ((𝐺𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = 1 ))
8079rspcev 3449 . . . 4 (((((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧) ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ∧ (𝐺‘(((invr𝑅)‘(𝐺𝑧))( ·𝑠𝑈)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 )
8170, 77, 80syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)) ∧ (𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅)) → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 )
8281rexlimdv3a 3171 . 2 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ ( ‘(𝐿𝐺))(𝐺𝑧) ≠ (0g𝑅) → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 ))
8326, 82mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 })(𝐺𝑥) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322  1rcur 18721  invrcinvr 18891  DivRingcdr 18969  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  LVecclvec 19324  LSAtomsclsa 34782  LFnlclfn 34865  LKerclk 34893  HLchlt 35158  LHypclh 35791  DVecHcdvh 36887  ocHcoch 37156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-riotaBAD 34760
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-tpos 7522  df-undef 7569  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-0g 16324  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-p1 17261  df-lat 17267  df-clat 17329  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-cntz 17970  df-lsm 18271  df-cmn 18415  df-abl 18416  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-oppr 18843  df-dvdsr 18861  df-unit 18862  df-invr 18892  df-dvr 18903  df-drng 18971  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lsp 19194  df-lvec 19325  df-lsatoms 34784  df-lshyp 34785  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967  df-tgrp 36551  df-tendo 36563  df-edring 36565  df-dveca 36811  df-disoa 36838  df-dvech 36888  df-dib 36948  df-dic 36982  df-dih 37038  df-doch 37157  df-djh 37204
This theorem is referenced by:  lcfl6  37309
  Copyright terms: Public domain W3C validator