Theorem dnizphlfeqhlf 32797

Description: The distance to nearest integer is a half for half-integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf.t	⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizphlfeqhlf.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
dnizphlfeqhlf	⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizphlfeqhlf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dnizphlfeqhlf.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 11683	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		halfre 11447	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
5	2, 4	readdcld 10270	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
6		dnizphlfeqhlf.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
7	6	dnival 32792	. . 3 ⊢ ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))))
9	2	recnd 10269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
10	4	recnd 10269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
11	9, 10, 10	addassd 10263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))))
12		1cnd 10257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
13	12	2halvesd 11479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
14	13	oveq2d 6808	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + ((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴 + 1))
15	11, 14	eqtrd 2804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) = (𝐴 + 1))
16	1	peano2zd 11686	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
17	15, 16	eqeltrd 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
18		flid 12816	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) = ((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)))
20	19	oveq1d 6807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2))) = (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) − (𝐴 + (1 / 2))))
21	9, 10	addcld 10260	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
22	21, 10	pncan2d 10595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2)) − (𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
23	20, 22	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))
24	23	fveq2d 6336	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((⌊‘((𝐴 + (1 / 2)) + (1 / 2))) − (𝐴 + (1 / 2)))) = (abs‘(1 / 2)))
25		halfgt0 11449	. . . . 5 ⊢ 0 < (1 / 2)
26		0re 10241	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
27	26, 3	ltlei 10360	. . . . 5 ⊢ (0 < (1 / 2) → 0 ≤ (1 / 2))
28	25, 27	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
30	4, 29	absidd 14368	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
31	8, 24, 30	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇‘(𝐴 + (1 / 2))) = (1 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℝcr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   < clt 10275   ≤ cle 10276   − cmin 10467   / cdiv 10885  2c2 11271  ℤcz 11578  ⌊cfl 12798  abscabs 14181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183

This theorem is referenced by:  knoppndvlem9  32842