Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnizeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnizeq0 32793
Description: The distance to nearest integer is zero for integers. (Contributed by Asger C. Ipsen, 15-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnizeq0.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnizeq0.1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
dnizeq0 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑇(𝑥)

Proof of Theorem dnizeq0
StepHypRef Expression
1 dnizeq0.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
21zred 11695 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 dnizeq0.t . . . 4 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
43dnival 32789 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
52, 4syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇𝐴) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
6 halfre 11459 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
81, 7jca 555 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
9 flzadd 12842 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))))
116rexri 10310 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) ∈ ℝ*
12 0re 10253 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
13 halfgt0 11461 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (1 / 2)
1412, 6, 13ltleii 10373 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (1 / 2)
15 halflt1 11463 . . . . . . . . . . . . 13 (1 / 2) < 1
1611, 14, 153pm3.2i 1424 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)
17 0xr 10299 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
18 1re 10252 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ
1918rexri 10310 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
2017, 19pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*)
21 elico1 12432 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1)))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) ↔ ((1 / 2) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (1 / 2) ∧ (1 / 2) < 1))
2316, 22mpbir 221 . . . . . . . . . . 11 (1 / 2) ∈ (0[,)1)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 2) ∈ (0[,)1))
25 ico01fl0 12835 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) ∈ (0[,)1) → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(1 / 2)) = 0)
2726oveq2d 6831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = (𝐴 + 0))
282recnd 10281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2928addid1d 10449 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
3027, 29eqtrd 2795 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 + (⌊‘(1 / 2))) = 𝐴)
3110, 30eqtrd 2795 . . . . . 6 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) = 𝐴)
3231oveq1d 6830 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = (𝐴𝐴))
3328subidd 10593 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐴) = 0)
3432, 33eqtrd 2795 . . . 4 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) = 0)
3534fveq2d 6358 . . 3 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = (abs‘0))
36 abs0 14245 . . . 4 (abs‘0) = 0
3736a1i 11 . . 3 (𝜑 → (abs‘0) = 0)
3835, 37eqtrd 2795 . 2 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) = 0)
395, 38eqtrd 2795 1 (𝜑 → (𝑇𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152  *cxr 10286   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479   / cdiv 10897  2c2 11283  cz 11590  [,)cico 12391  cfl 12806  abscabs 14194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-inf 8517  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-ico 12395  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196
This theorem is referenced by:  knoppndvlem6  32836  knoppndvlem8  32838
  Copyright terms: Public domain W3C validator