Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem8 32812
 Description: Lemma for dnibnd 32818. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
dnibndlem8.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibndlem8 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))

Proof of Theorem dnibndlem8
StepHypRef Expression
1 dnibndlem8.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 halfre 11448 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
41, 3jca 501 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
5 simpl 468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
62a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
75, 6readdcld 10271 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
84, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9 reflcl 12805 . . . . 5 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
111, 10resubcld 10660 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ∈ ℝ)
121dnicld1 32799 . . 3 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
1311leabsd 14361 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
141recnd 10270 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1510recnd 10270 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
1614, 15abssubd 14400 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
1713, 16breqtrd 4812 . . 3 (𝜑 → (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
1811, 12, 3, 17lesub2dd 10846 . 2 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))))
193recnd 10270 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
2019, 14, 15subsub3d 10624 . . 3 (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴))
2119, 15addcomd 10440 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
2221oveq1d 6808 . . 3 (𝜑 → (((1 / 2) + (⌊‘(𝐴 + (1 / 2)))) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
2320, 22eqtrd 2805 . 2 (𝜑 → ((1 / 2) − (𝐴 − (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))))) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
2418, 23breqtrd 4812 1 (𝜑 → ((1 / 2) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℝcr 10137  1c1 10139   + caddc 10141   ≤ cle 10277   − cmin 10468   / cdiv 10886  2c2 11272  ⌊cfl 12799  abscabs 14182 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184 This theorem is referenced by:  dnibndlem9  32813
 Copyright terms: Public domain W3C validator