Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem3 32747
Description: Lemma for dnibnd 32758. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem3.1 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
dnibndlem3.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dnibndlem3.4 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
Assertion
Ref Expression
dnibndlem3 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))

Proof of Theorem dnibndlem3
StepHypRef Expression
1 dnibndlem3.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21recnd 10231 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 halfre 11409 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
51, 4jca 555 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
6 readdcl 10182 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8 reflcl 12762 . . . . . . . . 9 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
109recnd 10231 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
11 halfcn 11410 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
1310, 12subcld 10555 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ)
14 dnibndlem3.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1514recnd 10231 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
162, 13, 153jca 1403 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
17 npncan 10465 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵𝐴))
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = (𝐵𝐴))
1918eqcomd 2754 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)))
20 dnibndlem3.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1))
2120oveq1d 6816 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)))
2214, 4jca 555 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ))
23 readdcl 10182 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25 reflcl 12762 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2726recnd 10231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
28 1cnd 10219 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2927, 28, 123jca 1403 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ))
30 addsubass 10454 . . . . . . 7 (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + 1) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))))
32 1mhlfehlf 11414 . . . . . . . 8 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
3332a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (1 / 2)) = (1 / 2))
3433oveq2d 6817 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 − (1 / 2))) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
3521, 31, 343eqtrd 2786 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) = ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)))
3635oveq1d 6816 . . . 4 (𝜑 → (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴) = (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))
3736oveq2d 6817 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2)) − 𝐴)) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
3819, 37eqtrd 2782 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐴) = ((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴)))
3938fveq2d 6344 1 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐴)) = (abs‘((𝐵 − ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − (1 / 2))) + (((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) + (1 / 2)) − 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  cmpt 4869  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098  1c1 10100   + caddc 10102  cmin 10429   / cdiv 10847  2c2 11233  cfl 12756  abscabs 14144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8501  df-inf 8502  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fl 12758
This theorem is referenced by:  dnibndlem9  32753
  Copyright terms: Public domain W3C validator