Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dnibndlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dnibndlem11 32705
Description: Lemma for dnibnd 32708. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
dnibndlem11.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dnibndlem11.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
dnibndlem11 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))

Proof of Theorem dnibndlem11
StepHypRef Expression
1 dnibndlem11.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
21dnicld1 32689 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℝ)
3 dnibndlem11.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43dnicld1 32689 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℝ)
52, 4resubcld 10571 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∈ ℝ)
6 halfre 11359 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
82recnd 10181 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ∈ ℂ)
94recnd 10181 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ∈ ℂ)
108, 9negsubdi2d 10521 . . . . 5 (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) = ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
114, 2resubcld 10571 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ∈ ℝ)
121, 7readdcld 10182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
13 reflcl 12712 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
1514recnd 10181 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
161recnd 10181 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1715, 16subcld 10505 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵) ∈ ℂ)
1817absge0d 14303 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
194, 2subge02d 10732 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
2018, 19mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
21 rddif 14200 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
223, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ≤ (1 / 2))
2311, 4, 7, 20, 22letrd 10307 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) − (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))) ≤ (1 / 2))
2410, 23eqbrtrd 4782 . . . 4 (𝜑 → -((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
255, 7, 24lenegcon1d 10722 . . 3 (𝜑 → -(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))))
263, 7readdcld 10182 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
27 reflcl 12712 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℝ)
2928recnd 10181 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) ∈ ℂ)
303recnd 10181 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3129, 30subcld 10505 . . . . . 6 (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴) ∈ ℂ)
3231absge0d 14303 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))
332, 4subge02d 10732 . . . . 5 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)) ↔ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵))))
3432, 33mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)))
35 rddif 14200 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
361, 35syl 17 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) ≤ (1 / 2))
375, 2, 7, 34, 36letrd 10307 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))
3825, 37jca 555 . 2 (𝜑 → (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2)))
395, 7absled 14289 . 2 (𝜑 → ((abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2) ↔ (-(1 / 2) ≤ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ∧ ((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴))) ≤ (1 / 2))))
4038, 39mpbird 247 1 (𝜑 → (abs‘((abs‘((⌊‘(𝐵 + (1 / 2))) − 𝐵)) − (abs‘((⌊‘(𝐴 + (1 / 2))) − 𝐴)))) ≤ (1 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2103   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  cle 10188  cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  2c2 11183  cfl 12706  abscabs 14094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096
This theorem is referenced by:  dnibndlem12  32706
  Copyright terms: Public domain W3C validator