MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmxpid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmxpid 5315
Description: The domain of a square Cartesian product. (Contributed by NM, 28-Jul-1995.)
Assertion
Ref Expression
dmxpid dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴

Proof of Theorem dmxpid
StepHypRef Expression
1 dm0 5309 . . 3 dom ∅ = ∅
2 xpeq1 5098 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = (∅ × 𝐴))
3 0xp 5170 . . . . 5 (∅ × 𝐴) = ∅
42, 3syl6eq 2671 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 × 𝐴) = ∅)
54dmeqd 5296 . . 3 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = dom ∅)
6 id 22 . . 3 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
71, 5, 63eqtr4a 2681 . 2 (𝐴 = ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
8 dmxp 5314 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴)
97, 8pm2.61ine 2873 1 dom (𝐴 × 𝐴) = 𝐴
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  c0 3897   × cxp 5082  dom cdm 5084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-br 4624  df-opab 4684  df-xp 5090  df-dm 5094
This theorem is referenced by:  dmxpin  5316  xpid11  5317  sofld  5550  xpider  7778  hartogslem1  8407  unxpwdom2  8453  infxpenlem  8796  fpwwe2lem13  9424  fpwwe2  9425  canth4  9429  dmrecnq  9750  homfeqbas  16296  sscfn1  16417  sscfn2  16418  ssclem  16419  isssc  16420  rescval2  16428  issubc2  16436  cofuval  16482  resfval2  16493  resf1st  16494  psssdm2  17155  tsrss  17163  decpmatval  20510  pmatcollpw3lem  20528  ustssco  21958  ustbas2  21969  psmetdmdm  22050  xmetdmdm  22080  setsmstopn  22223  tmsval  22226  tngtopn  22394  caufval  23013  grporndm  27252  dfhnorm2  27867  hhshsslem1  28012  metideq  29760  filnetlem4  32071  poimirlem3  33083  ssbnd  33258  bnd2lem  33261  ismtyval  33270  ismndo2  33344  exidreslem  33347  divrngcl  33427  isdrngo2  33428  rtrclex  37444  fnxpdmdm  41086
  Copyright terms: Public domain W3C validator