Theorem dmmptdf 39935

Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dmmptdf.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
dmmptdf.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
dmmptdf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
dmmptdf	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmmptdf.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		dmmptdf.c	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
3		elex 3353	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ V)
5	4	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝐶 ∈ V))
6	1, 5	ralrimi 3096	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
7		rabid2 3258	. . 3 ⊢ (𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
8	6, 7	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V})
9		dmmptdf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
10	9	dmmpt 5792	. 2 ⊢ dom 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝐶 ∈ V}
11	8, 10	syl6reqr 2814	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051  {crab 3055  Vcvv 3341   ↦ cmpt 4882  dom cdm 5267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pr 5056

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ral 3056  df-rab 3060  df-v 3343  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280

This theorem is referenced by:  smfpimltmpt  41480  smfpimltxrmpt  41492  smfadd  41498  smfpimgtmpt  41514  smfpimgtxrmpt  41517  smfpimioompt  41518  smfrec  41521  smfmul  41527  smfmulc1  41528  smffmpt  41536  smfsupmpt  41546  smfinfmpt  41550  smflimsupmpt  41560  smfliminfmpt  41563