MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dmmptd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmmptd 6173
Description: The domain of the mapping operation, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dmmptd.a 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
dmmptd.c ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
Assertion
Ref Expression
dmmptd (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem dmmptd
StepHypRef Expression
1 dmmptd.c . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
2 elex 3340 . . . . 5 (𝐶𝑉𝐶 ∈ V)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ V)
43ralrimiva 3092 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
5 rabid2 3245 . . 3 (𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V} ↔ ∀𝑥𝐵 𝐶 ∈ V)
64, 5sylibr 224 . 2 (𝜑𝐵 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V})
7 dmmptd.a . . 3 𝐴 = (𝑥𝐵𝐶)
87dmmpt 5779 . 2 dom 𝐴 = {𝑥𝐵𝐶 ∈ V}
96, 8syl6reqr 2801 1 (𝜑 → dom 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  {crab 3042  Vcvv 3328  cmpt 4869  dom cdm 5254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pr 5043
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ral 3043  df-rab 3047  df-v 3330  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267
This theorem is referenced by:  cantnfp1lem2  8737  lo1eq  14469  rlimeq  14470  rlimcld2  14479  rlimcn2  14491  rlimmptrcl  14508  rlimsqzlem  14549  dprdz  18600  alexsublem  22020  cmetcaulem  23257  minveclem3b  23370  mbfneg  23587  mbfsup  23601  mbfinf  23602  mbflimsup  23603  itg2monolem1  23687  itg2mono  23690  itg2i1fseq2  23693  itg2cnlem1  23698  isibl2  23703  iblcnlem  23725  limccnp2  23826  limcco  23827  dvmptres3  23889  itgsubstlem  23981  iblulm  24331  rlimcnp2  24863  dchrisumlema  25347  htthlem  28054  expgrowth  39005  mptelpm  39825  choicefi  39860  mullimc  40320  limcmptdm  40339  dvsinax  40599  dirkercncflem2  40793  fourierdlem62  40857  psmeasure  41160  ovnovollem2  41346  smflimsuplem2  41502
  Copyright terms: Public domain W3C validator